Радиоавтоматика - Коновалов Г.Ф. Москва, 1990 (1000004), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Пример 12.2. Найти суммарную среднюю квадратическую сшиб«у системы автоматического совровоасдеини дели (рис, 123!), Рас- четы провести для случая, когда ср(!)=аг, а 0,7 рад с-', а переда точная функция исполнительного устройства системы Ог(р) =«н/р, где «н=0,35 рад/(с В). Ре ш е ни е.
Спектральная плотность помехи, действующей на вход системы, 8 (ы)=— Жп 1+ энз Т„' где Мн=0,3 10 н радз с; Т, 0,05 с. Пеленгацноиная характеристика системы сопровождения аппрокснмируется выражением (12.21), в котором А=5 В; а=0,314 Уравнения (12,22) и (12.23) для рассматриваемой системы получаются следующими: 40 20 бнэ т =; (12.
24) «э (тепе) «сг (О е пег 3 сссп 2Т„(1 + «, (т, а,) «„) (!2.25) Расчет коэффициентов статяче. ской линеаризацпн выполинм в такой последовательности. Проведем на 12.10,а прямую, уравнение которой следует нз выражения (!2.24) и име. ет вид тес2 мену Рис. 12.12. К вычислению коэффициентов статистн.
ческой лииеаризации в системе автосопровождения цели а «э (эсе пе) те 2В' (12'26) «и По точкам пересечения этой прямой с изображенными на рис. !2.10, а кривыми найдем зависимость (кривая ! на рнс. 12.!2) пт = ) (т ) (12. 21) Формула (12.27) связывает математическое ожидание сигнала ошибки т. и дисперсию этого сигнала п„удовлетворяющие уравнению (12.26).
для каждой пары значений т, н а„связанных уравнением 3 (12.27), но формулам (12.20) рассчитывают коэффициенты статистической лииеариэацнн «гв а по формулам (!2.25) — зависимость дисперсии сигнала ошибки а, от математического охсндания этого сиг- 2 нала (кривая 2 на рис, 12.12). Точка пересечения кривых 1 и 2 и определяет математическое ожидание сигнала ошибки т, и дисперсию этого сигнала и,.
В рассматриваемой системе автоматнчесиого со- 2 провождения цели т,с 3,14 10-' рад; и,! 1,5.10-' раде. По этим значениям и кривым рис. 12.!О находят коэффициенты статистической лияеарнзации «,=64 В/рад; «ы 57,3 В/рад, которые затем используют для оценки точности работы системы. Динамическая ошибка скстемы определена — это значение мвтематнческого ожидания сигнала ошибки т,с.
Дисперсия ошибки системы из-за действия по- мехи, согласно (6.20), з ьг «тз йи ти 2 У ) (У)! () = ! ьь =1,5 19- рд, где (!Р,((еа) ( — АЧХ замннутой системы. Таннм образом, суммарная средняя квадратическая ошибка сис. темы автоматнчесного сопровождения цели охи - (т,з+и )'гз=б !О з рад. Определим условия, прв которых в следящей системе из-за нелинейных свойств пелеигационной характеристики происходит срыв сопровождения цели. Процесс срыва носит случайный характер, поэтому его характеристикой является вероятность возникновения срыва за какой-то промежуток времени. Вычисление этой вероятности является сложной задачей.
В инженерной практике ограничиваются выявлением характеристик сигнала и помех, при которых происходит срыв сопровождения пели. Метод статистической лнпеарнзании позволяет решить эту задачу, при этом удобно использовать графический способ, который применялся ранее для анализа стационарных режиыов в системах РА.
Оценим, прн каком уровне спектральной плотности помехи происходит срыв сопровождения цели в системе, рассмотренной в при. мере 12.2. С увеличением уровня спентральной плотности помехи кривая 2 на рис. 12.12 не взменяет своей формы н смещается вверх; при каком-то значении Аг, кривые 1 н 2 не будут пересекаться. Это означает, что отсутствует совместное решение уравненнй (12.24) и (12.25).
Математическое ожидание н дисперсия сигнала ошибки резко возрастают и происходит срыв сопровождения цели, система становится разомкнутой, а следовательно, неработоспособной. После срыва сопровождения цели математическое ожидание сигнала ошибки неограиичеано увеличивается, а дисперсия сигнала ошибни оказывается равной дисперсии помехи. Граничное значение уровня спектральной плотности помехи !!ь, прн котором происходит срыв сопровож.
деиия цели, равно Лгьгм При этом кривая 2 на рнс. 12.!2 оказывается касательной к кривой !. В рассмотренном ранее примере Л',г𠆆=9,!4 19 ' рад'с. Граничное значение уровня спектральной плотности помехи зависит от параметров системы, управляющего воздействия и ширины спектра помехи. Так, с ростом производной управляющего воздействия увелнчнвестся математическое ожидание сигнала ошнбкн, в ре. зультате чего г!Г, „ уменьшается.
С расширением спектра помехи Агв,э также снижается, так как при этом увеличивается дисперсия снгнзла ошибки. С ростом коэффициента передачи линейной части системы сигнал ошибки уменьшается, а следовательно увеличивается Агь „, $ !2.7. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ ДЛЯ АНАЛИЗА НЕЛИНЕИНЫХ СИСТЕМ )!екоторые задачи анализа систем РА могут быть решены, если использовать методы, разработанные для ис. следования марковских процессов, отличавшихся от дру- 2бб гик случайных процессов простотой статистической связи между предыдущими и последующими значениями слу- чайного сигнала. Случайные процессы характеризируются и-мерной плотностью распределения вероятности ю(хь хь ..., х,), где х~=х,(/,); хз — — хз(/з); х„=х„(/„). Через условную плотность вероятности, характеризующую распределение х(/) в момент времени /„ при известных значениях хь хь ..., х, ь а-мерную плотность вероятности процесса х(/) можно записать так: ю (х„х„..., х„) = ю (х„х,...., х„) ю (х„/х„х,„...
х« ~). (12.28) Случайный процесс х(/) называют марковским (или процессом без последствия), если для любых и моментов времени /,(/т(...~/„условная плотность вероятности «последнего» значения х, при известных х„хь ..., х,, зависит только от х„~ и не зависит от всех предшествую- щих значений, т. е. справедливо соотношение ю(х„/х„к„..„х„~) = ю(х /х„~)г (12.29) Таким образом, если известно состояние марковского процесса в настоящий момент времени /, то его будущее значение в момент времени /„+, не зависит от прошлого состояния в моменты времени /„ь Г„м,...
Из выражений (12.28) и (12.29) следует, что щ (хо хм..., х») = Ф (хи хм" ю х» — ч) и1(х»/ха — 1) = щ (хп хм..., х» 2) щ (х» — 1/ха — 2) Р (х»/ха 1) = ю(х,) я~(х,/х,)...ю(х„/х„~), т, е, и-мерная плотность вероятности марковского процесса полностью определяется одномерной плотностью и плотностью вероятности перехода в(х~/х~ ~). В (121 показано, что процесс хь хь ..., х, является, марковским, если составляющие х; удовлетворяют следующей системе стохастических уравнений; йх~ — = а, (хп хм..., х„) + ~)~~ йы(х„хм...,х„) $/ (/); (=1,2,...,п, (12.31 где а~ — известные нелинейные функции; $~(/) — незави симые белые шумы с единичными спектральными плотно стями й/,.
Плотность вероятности и-мерного марковского про цесса, являющегося решением стохастических дифференциальных уравнений (12.31), удовлетворяет уравнению фоккера — Планка [121! 1 — — ' — (А! (х, х ..., х, 1)а!1+ дэ! '% Ч д д! ,. 1 дх! Ю=! + — (В!1(х!, Км..., хд, 1) 16], (12,32) ~ай ~ю1 дк! дх! !=! у=! где А!(х„х„..., х„, 1) = а,(х„х,...,х„,()+ — х 1 4 Х ' — Ьм(х!, хм'"~ хь () (12.33) '%$~~ д !=! !!=! 1 Вы(хохм...,х„г) = — ~ А1,ьм(х„хм...,х„,1)ь, м ь ! х (х,,х„...,х„, 1).
(12.34) Часто встречаются случаи, когда составляющие марковского процесса удовлетворяют системе стохастических дифференциальных уравнений вида — ' = а! (х„хм..., х„, !) + в! (1), (12,35) где $!(1) — белые шумы, не зависящие от составляющих х(1). В этом случае коэффициенты уравнения (12.32) получаются следующими: А!(х!,хм - хп!) =а,(х„хз,...,к„!); Вы — — 0,25М!л где А!и — взаимные спектральные плотности шумов х(1).
Уравнение Фоккера — Планка позволяет найти плотность вероятности ошибки системы РА, вероятность срыва слежения цели, среднее время до срыва. Однако следует заметить, что интегрирование уравнения (12.32) является сложной математической задачей, в общем случае не решенной. Для некоторых частных случаев, имеющих практическое значение, решение этого уравнения может быть найдено. 17 — 493 Для анализа выходного сигнала системы РА у(1) или ее ошибки е(!) методами теории марковских процессов необходимо, во-первых, чтобы все случайные возмуще- ния, действующие на систему, были белыми шумами и, во-вторых, чтобы система описывалась стохастически- ми дифференциальными уравнениями вида (12.31) или (12.35).
Первое условие обычно выполняется, так как системы РА — это устройства с ограниченной полосой пропускания, в пределах которой спектр возмущений можно принять постоянным. Если спектр возму- щений в пределах полосы пропускания изменя- ется, то можно ввести формирующий фильтр с белым шумом на входе, что, однако, приводит к повы- шению порядка стохастического дифференциального уравнения и, следовательно, к усложнению оценки ха- рактеристик нелинейной системы.
Для выполнения второго условия передаточная функ- ция линейной части системы (ьч(р) (см. рис. 1.20) должна быть дробно-рациональной функцией оператора р. В атом случае математическое описание нелинейной системы в виде системы стохастических дифференциальных урав- нений осуществляется так же, как и в линейных систе- мах. Для приведения исходного дифференциального уравнения нелинейной системы к виду (12.31) или (12.35) следует использовать формулы (8.3) и (8.7), Пример !2.З. Составить стохастнческие дифференциальные урав- нения для ошибни системы (см, рис. 1.20), когда йу(р) й(1+рТ,)1 /р(1+рТ,), а шум не зависит от ошибки е(1). Р е ш е н н е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
