Радиоавтоматика - Коновалов Г.Ф. Москва, 1990 (1000004), страница 35
Текст из файла (страница 35)
(11.51) Сумма элементов главной диагонали матрицы (11.51) определяет дисперсию суммарной ошибки оптимального фильтра, которая при заданных характеристиках сигна- ла и помехи и найденном уравнении фильтра имеет ми- нимальное значение. Особенностью оптимального фильтра Калмана явля- ется рекуррентная форма его уравнений, поэтому для об- Работки результатов измерений целесообразно использо- вать цифровые вычислительные устройства. Последова.
тельность вычислений на одном цикле следующая (см. рис. 11.4): л 1) найденная на предыдущем цикле оценка С(п/и) умножается слева на матрицу перехода Ф(п+1, и), в реп зультате чего определяется б (и+1/п); 2) оценка б(п+1/и) умножается слева на Сг(п+!) и по формуле (11.37) вычисляется невязка Г(п+1/и); 3) г'(п+1/п) умножается на матрицу усиления и реп зультат суммируется с оценкой б(п+1/и), после чего л находится оценка б (и+1/п). Далее цикл вычислений повторяется.
На каждом цикле рассчитываются также матрицы корреляционных моментов )[к(п+1/п) и цк(и+1/и+1), При расчете матрицы усиления (11.45) определяют обратную матрицу размером тХт, что обычно не связано с большими трудностями, так как число выходов фильтра т редко превышает значение, равное 2 — 3. При стационарных воздействиях в установившемся режиме матрицы усиления и корреляционных моментов ошибки являются стационарными и могут быть найдены нз уравнений (11.45), (11.45) и (11.51). При реализации оптимальных фильтров на цифровых устройствах из-за ограниченного числа их разрядов вычисления выполняются с погрешностями. Наиболыпие погрешности получаются при расчете матрицы, корреляционных моментов ошибки, причем с каждым последующим циклом объем вычислений увеличивается и качество оценок сигнала ухудшается.
В теории оптимальных фильтров зто явление называют неустойчивостью фильтров Калиана. Пример 11.3. Найти уравнение оптимального фильтра первого порядка, нз вход которого воздействует помеха в виде белого шума с интенсивностью Р и случайный стационарный сигнал, генерируемый формирующим фильтром, разиостное уравнение которого имеет вид я1 [л+! ) ад~ [л) + о(л). Решение. Из последнего разностиого уравнения следует, что й и', В=1, 6=1.
Выражения (11.45), (1!.46) 'и (1!.51) в рассмат. риваемом примере являются скалярными: К [и+ 1) = /се (л + 1/л) 1/св (л + 1/л) + Р)-х1 К (и+1/ ) = йе. К (л/л) +С); (11,52) Ял (л + 1/л) = [1 — К (л + 1)) /1 в (л -1- 1/л). 230 Из этих уравнений находим, что / ) + д) (с(е т (п/л) -( 0 -( /(и (л+ 1/л + 1) = К (л + 1) Р. уравнение оптимального фильтра в соответствии с выражением (!1.38) имеет вид п л л йз (л+ 1/л + 1) = лйз (л/л) + К (л+ 1) (Р (я +1) — Лд (л/лН Оценка сигнала вычисля.
Таблица 11,1 тся в такой последовательно. е сти, По начальному значению яз(0) определяется коэффициент усиления К(!) в дисперсия /(з(1/!), а затем находитси значение оценки сигнал ла й~ (1/1), после чего цикл вычислений повторяется. В табл. 11.1 приведены результаты расчета нескольких циклов для случая 4=1; Р= 0,8: 9=2; Яз(0) =1О Кг»+ Г! Я ге+ з7п+Н 0,9375 0,7746 0,7760 0,7656 0,7500 0,6!97 0,6129 0,6!25 00 0.7655 0 6124 $11.5, НЕПРЕРЫВНЫЙ ФИЛЬТР КАЛй)АНА Определим непрерывный оптимальный фильтр на основе дискретного фильтра, рассмотренного в $ 11.4. Первоначально рассмотрим методику перехода к непрерывной модели векторного дифференциального уравнения от разностного уравнения (11.20).
С этой целью заменим аргументы в уравнении (11.20) а на 1 и л+1 на /+А/ и разлохснм матрицу перехода в ряд Тейлора по степеням 23! Значения дисперсии оценки сигнала и коэффициента усиления, указанные в табл. 11.! для установившегося режима, определены следующим образом.
В этом режиме Яе(л+1/л+1) Ка(п/и) =Ею поэтому уравнении (!!.52), решенные относительно ошибки филь4- рации, позволяют получить следующее квадратное уравнение Кн 2 +(Яз — ОР=О, решение которого /7а ьз= — 1~1,6124. Так как дисперсия — величина положительная, то ошибка фильтрации /(е =0,6124, что дает возможность вычислить коэффициент усиления оптимального фильтра. Уравнение дли оценки си~нала в установившемся режиме имеет вид Л и и д, (л+ 1/л+!) = ят (л/л)+0,7655(Е (л+ 1) — йт (л/л)1 = и = 0,2345 — йт (л/п) + 0,7655Р (п+ 1).
Осуществив 2-преобразование последнего разностного уравнения, найдем дискретную передаточную функцию оптимального фильтра: 0,7655х е — 0,2345 И, ограничившись первыми степенями И. В результате получим, что Ф(Г -[- ЬА Г) = Ф(Я + Ф(АГ) М. (11.53) '' Так как Ф(1, 1)=7, Ф(1, 1)=А(1), то выражение (11.53) принимает вид Ф (г + л>, г) = 1+ А ® м. (11.54) Аналогично, для матрицы перехода по управлению „."' (11.19) Г(1+И,Ы) = ~ Ф(1 +Ы,АГ)В(т)от=В(Г)АГ.
(11.55); Подставив уравнения (11.54) и (11.55) в выражение 1 (11.20), найдем С (1 + Я = [! + А (Е) М С (г) + В (1) )( (г) Ж. Перенеся С(г) нз правой части в левую и перейдя, к пределу при г-~оо, получим С (1) = А (1) С (1) + В (Г) У (1). (11.56) Аналогичным образом для уравнения выхода Х(1) = Сг(1) С(Г). (! 1.57) Если применить рассмотренную методику предельного перехода от дискретной модели к непрерывной для векторного разностного уравнения оптимального дискретного фильтра (11.38), то непрерывный оптимальный фильтр будет описывать следующим векторным дифференциальным уравнением с начальными условиями: 4 л л С(() А(г)С(1) + К(г)[Р(г) Ст(г)С(1)) (1158) Уравнению (11,58) соответствует структурная схема, показанная на рис. 11.5, нз которой видно, что оптимальный фильтр — это нестационарная система с обратной связью, внутренним контуром которой является формирующий фильтр сигнала.
Матрица усиления в (11.58) находится из разностного уравнения (11.45) и имеет вид К (1) = [(з (Г) С (Г) Р- (Г) (11.59) где Р(г) — матрица интенсивностей белого шума векто- ра помехи, аз2 Матрица корреляционных моментов ошибки вектора л Е(г/!)=6(г) — С(й) в выражении (11.59) удовлетворяет векторному дифференциальному уравнению Ки(!) = А(!) Ки(!)+ Кн(!)А (!) — Кн(!)С(!)Р ' (!)С (!) Х х К (г) + В (г) (! (!) Вг (т) (11.60) с начальными условиями Ки(0) =Кис.
Выражение (11.60) в теории оптимальных систем называют уравнением Риккати. Это нелинейное уравнение, ' Рис. 1!.5, Структурная схема оптимального непрерывного фильтра которое в общем виде не решается. Поэтому вычисление элементов матрицы корреляционных моментов ошибки фильтрации сводится к решению системы нз дифференциальных уравнений первого порядка, которая получается путем приравнивания в уравнении (11.60) элементов матрицы слева соответствующим элементам матрицы справа. Так как матрица Ки(!) симметричная, то число уравнений равно 0,5п(п+1), где а — порядок формирующего фильтра. Из найденных решений следует отобрать только то, при котором матрица Ки(!) положительно определена (см.
приложение П. 4), такое решение является единственным. В установившемся режиме А(!) =А, В(!) =В, С(!) = =С, Р(!) =Р, Я(!) =С! и Кв(!) =Кн, поэтому Кв=О н уравнения (11.58), (1!.59) и (!1,60) принимают такой вид: й л л б(Г) = АС(!)+ К[Г(!) — СтС(!)); (11.61) К = Кн СР-'! (11.62) 0 = АКн-1- КеАг — КнСР-'Ст Ки-(-В(1Вг. (!1.63) Уравнение (11.63) в общем виде также ие решается, поэтому элементы матрицы Йн определяются из решения системы алгебраических уравнений, получаемых из (11.63) после выполнения умножения и сложения матриц в правой части уравнения (1!.63). Из найденных решений необходимо отобрать только то решение, при котором матрица Пн положительно определена.
Отметим, что передаточная функция оптимального фильтра, соответствующая уравнениям (11.61) и (11.62), совпадает с передаточной функцией, получаемой при синтезе оптимального фильтра по методу Винера. Найденный оптимальный фильтр может быть использован для проектирования оптимальной системы РЛ. Если проектируемая система является счетно-решающим устройством, то прн технической реализации могут быть применены однотипные интеграторы и сумматоры, исполь. зуемые в вычислительной технике.
Если проектируемая система предназначена для управления динамическим объектом, то реализация оптимальной системы сводится к определению структуры и параметров корректируемого устройства, подключение которого к объекту управления позволяет получить оптимальную систему. При стационарных сигнале и помехе реализация оптимальной системы упрощается. В этом случае матрицы в уравнениях (11.58) и (11.59) не зависят от времени, поэтому можно найти передаточные функции оптимальной системы и затем, используя методику гл. 7, определить передаточные функции корректирующих устройств, которые в данном случае будут стационарными. Заметим, что ранее оптимальные решения найдены для случая, когда неслучайная составляющая сигнала равна нулю. В противном случае оптимальный фильтр дает смешанную оценку сигнала, т.
е. неслучайная составляющая оценки сигнала не будет равна соответствующей составляющей сигнала, Если необходимо, чтобы неслучайные составляющие оценки и сигнала были равны, то следует использовать оптимальный фильтр для несмещенной оценки". Пример 11А. Определить нз условия мяннмума среднеквадратяческой ошибки в установившемся режиме структурную схему н параметры оптимальной системы, на которую действует смесь снтна- " Смс Казаков И. Е. Статистическая теория снстем управлення в пространстве состояннй. — Мл Наука, 1975. Атл ла и и помехи со спектральными плотностями 5„(ы) — ! ! !-(-ызТз 5, (ы) =/Уа Р е ш е н и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
