Радиоавтоматика - Коновалов Г.Ф. Москва, 1990 (1000004), страница 33
Текст из файла (страница 33)
5) Ссс = сс — с — ас-! )со! lц = с! 2 — а! 2)се — ас 1)сс Уравнения (11.3) и (11.4) перепишем в матричной форме: б(п -1- 1) = Аб (и) + Вх(п); ' (1!.6) у(п).= Стб(п) + Ь х(п), (1 1.7) где ис (и и б (и) — Вс.( вс(п) — вектор переменных состояния размером 1Х1; О, 1, 0„.„0 О, О, 1,.„0 — а„— ан — а„..., — ас-! — матрица системы размером 1Х1; и! В= ссс — матрица управления размером 1К 1; 1 С= 0 — матрица наблюдения размером 1Х1; Ст — транспонированная матрица наблюдения; 1 — порядок системы.
Выражение (! 1.6) называют векторным разностным уравнением системы, а выражение (11.7) — уравнением вьсхода. Для пояснения физического смысла введенных переменных состояния на рис. 11.1, а изображена структурная схема, составленная по уравнениям (11.6) и (11.7), которая отличается от схемы непрерывной системы '(см, рнс, 8.1) тем, что в схеме цифровой системы вместо векторного интегратора введен вектор запаздывания. На рис. 1!.1,6 показана структурная схема, в которой изображены все составляющие вектора состояния. Из этой «(и/ Рнс. 11.1. Структурная схема цифровой системья о — в векторной форме; б — в веремевных соетонннн схемы видно, что переменные состояния — это дискрет. ные значения сигнала в текущий момент времени и 1 — 1 его значения в предыдущие моменты времени.
Аналогично непрерывным системам составляющие вектора переменных состояний д;(п) можно рассматривать как оси координат многомерного пространства состояния системы. С течением времени вектор состояния изменяет свое значение и положение, его конец описывает в пространстве состояния некоторую кривую, называемую траекторией движения системой Очевидно, что эта траектория зависит от начального состояния и входного сигнала. Матрица системы А определяет устойчивость и другие показатели качества работы системы, матрица управления В характеризует влияние на переменные состояния входного сигнала, а матрица наблюдения С устанавлива- ет связь выходного сигнала системы с вектором переменных состояния.
Так же как и в непрерывных, выбор переменных состояния в цифровых системах является неоднозначной операцией, т. е. векторное разностное уравнение зависит от выбранных переменных состояния. Однако все возможные векторные уравнения эквивалентны, так как описывают один и тот же динамический процесс связи выходного сигнала системы с входным. Проиллюстрируем это на конкретном примере. Пример 11.1.
Найти. векторное разностное уравнение для системы, дискретная передаточная функция которой г — 1 йг (г) = гз — 0,75г+ 0,125 Р е ш е и и е. Данной передаточной функции соответствует раз. постное уравнение у (и + 2) — 0,75у (л + 1) + О, 125у (л) = х (л + 1) — х (л) . На основании выражений (11.4), (11.7) волучим, что А= В=; С вЂ” 0,125, + 0,75 ) ~ — 0,25 ~0 Уравнения системы в пространстве состояний получаются сле. дующими; у, (л + !) = уг (л) + х (л); (11.8) Уз(л + 1) =- — 0,(25д, (л) + 0,758г(и) — 0,25х (л), а уравнение выхода имеет вид ' у (л) = д, (л).
(1! .9) На рис. 11.2, а изображена структурная схема рассматриваемой системы, построенная по уравнениям (11.8) и (11.9), из которой видно, что переменные состояния — это сигналы на выходах звеньев запаздывания. Представим передаточную функцию системы в виде 3 2 йг (г) = г — 0,25 г — 0,5 Такой передаточной функции соответствует структурная схема, приведенная иа рис. !!.2,б. Выберем в качестве переменных состояния сигналы на выходах звеньев запаздывания. Тогда можно записать следующую систему уравнений: г, (л + 1) = 0,25), (л) + Зх (л); )г (л+ 1) = 0,5гг (л) — 2х (л).
(11.! 0) В этом случае уравнение выхода имеет внд У (л) 7! (л) + )з (и). ( ! ! . 1 1) 218 Перепишем выражения (11.!О) я (1!.11) в матричной форме! Г (л -1- 1) = Ал Г (л) + Ви х (л); у(л) = Стг" (л) г г), ( ) ) где р (л) = !( 1! — вектор переменных состояияя! 1л( )! Рис. 11.2, Схемы системы второго по.
рядка: а — относительно Лиснрет выходного снгивле: б — относительно ион~осев системы А,=~ ' ' (; В,=( ~; С„=~'~. Из уравнений (11.8) и (!1.10), (11.9) и (11.11) следует, что различным переменным состояния соответствуют различные матрнпы системы, управления я наблюдения, но связь выходного сигнала системы с входным остается неизменной: у(л) С С(л)=СгР(л). Ранее цифровые системы РА в пространстве состояний описаны для стационарных систем. В нестационарных системах матрицы системы управления и наблюдения являются переменными, и векторные разностные 219 уравнения имеют такой вид С(п -[- 1) = А(п) С(а)+ В(п)х(п); ' (11.12) у (и) = Сг (и) С (и) + А, (и) х (п). (11.13) В общем случае цифровая система имеет г входов и т выходов, Прн этом вид векторных разностных уравнений остается таким же, как н в (11.12) и (11.13), в которых матрица системы А имеет тот же вид, что и в системах с одним входом.
и одним выходом, изменяются лишь матрицы управления и наблюдения. Матрица управления становится прямоугольной размером 1Хг, а матрица наблюдения имеет размер 1;к',т, й Ы 2. ДИСКРЕТНАЯ МАТРИЦА ПЕРЕХОДА Рассмотрим однородное нестационарное уравнение, которое получается из разностного векторного уравнения (11.!2) при х(п) =0: С(п+ 1) = А(п)С(п). (11.14) Обозначим через С (О) начальное состояние системы. Тогда из выражения (11.14) последовательно получаем: С (1) = А (О) С (О); С(2) = А(1) С(1) = А(1) А(0) С(0); (11.15) С (а) = П А (!) С (0). а-в Введем дискретную матрицу перехода с помощью соотношения: С (а) = Ф (и, т) С (т). Дискретная матрица перехода Ф(п, т) обладает следующими свойствами: Ф(а,п) = 1; Ф(п,т) = [Ф(т,п)] — 1, где ! †единичн матрица.
Соотношения (11.15) через введенную дискретную матрицу перехода записывают в виде С(п) = Ф (и, 0) С (0). Тогда матрица перехода имеет внд Ф(а, 0) = П А(!) 220 Для стационарных систем Ф(п, 0) = Ф(п) = Ал . Полное решение векторного разностного уравнения (11.12) найдем путем следующих последовательных вычислений: б(ц = А(о) с(о) + В(о) х(0)1 б(2) = А(ЦС(ц+ В(цХ(ц = А(цА(О)б(О)+ + А (ц В (о) х (о) + В ( ц х ( ц.
с()= ПА(1)с(о)+~'~ П' А(;) В(,. Х(,. 1=0 1 0 ~!=1+1 или, учитывая введенную дискретную матрицу перехода, л-1 б(п) = Ф(п) С(0) + ~я~~ Ф(п — 1' — ц В (1) Х(1). (11.17) 1г а В аналого-цифровых системах РА, где имеется непрсрывная часть, дискретную матрицу перехода можно определить путем дискретизации непрерывных уравнений (8.8) и (8.9), описывающих процессы, происходящие в системе.
Положим, что входной сигнал непрерывной системы Х(1) может быть принят постоянным между дискретнымн моментами времени, чего можно достичь соответствующим выбором периода дискретизации. Рассмотрим интервал времени 1„(1(1 +1, на котором вектор переменных состояния известен. Тогда из уравнения (8.24) следует, что ' +1 Х(1л+1) = Ф(lл+1~1л)Х(1л)+ ~ Ф(1лч1,т)В(т)Х(т)бт. (1!.18) Введем следующие обозначения: Х(г„) = С(а), х(1л+1) = С(п+ ц; (11.19) и+1 Ф(1,+1, 1„) = Ф (и + 1, и); ~ Ф ((л+„т) В (т) 11т 1л =-Г(п+ 1, и), Уравнение (11.18) можно записать в виде С (и + ц = Ф (п + 1, и) С (п) + Г (а 1- 1, а) Х (п), (11.20) 221 где Г(п+1, п) — матрица перехода по управлению.
Уравнение (11.20) совместно с уравнением выхода (11.!3) используется и для анализа процессов в непрерывных системах РА с помощью ЦВМ. Лля стационарных систем дискретная матрица перехода может быть найдена с помощью Я-преобразования, которое следует применить к уравнению (11.6). В результате получим гС(г) = АС(г) + У(г) + гб(0), где У(г) =ВХ(г); б(0) — начальное состояние системы. Согласно последнему выражению, С(г) = ]г! — А] ' Ч(г) + [г! — А] — ' гб(0). (11.21) Обратное У-преобразование от уравнения (11.21), осуществленное с учетом теоремы (10.11), позволяет определить л С(п) = ~ Ф(п — 1 — т) У(т)+ Ф(п)С(О), или С(п+ 1) = ~~~~ ~Ф(п — т)Ч(т)+Ф(п+ 1)С(0), (1122) гл=о где Ф(п) =Е-г((г! — А|-гг).
Матрицу (г1 — А1 называют характеристической, определитель этой матрицы является характеристическим уравнением системы. Пример 11.2. Найти дискретную матрицу перехода для системы, рассмотренной в примере 11.1.. Р е ш е н и е. Система описывается ревностными уравнениими (11.8), ее характеристическая матрица имеет вид г, — 1 г1 — А = 0,125, г — 0,75~ Матрица, обратная характеристической (см, приложение П 4), 1 (г — 0,75, 1] (г — 0,5) (г — 0,25) ] — 0,125, г] Согласно теореме о вычетах (1045), дискретная матрица пере- хода 2 (О 25)л (О 5)л 4 (О 25)л + 4 (О 5)л Ф (л) = 0,5 (0,25)л — 0,5 (0,5)", — (0,25)л + 2 (0,5)л~ 222 $11,3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
