Радиоавтоматика - Коновалов Г.Ф. Москва, 1990 (1000004), страница 37
Текст из файла (страница 37)
(12.3) Последнее выражение называют уравнением гармонической линеаризации, а коэффициенты д(а) и д'(а)— коэффициентами гармонической линеаризации. Таким образом, нелинейное звено при воздействии гармонического сигнала описывается уравнением (12.3), которое с точностью до высших гармоник является линейным. Эта операция и называется гармонической линеаризацией нелинейного звена. При постоянных значениях амплитуды входного сигнала коэффициенты гармонической линеаризации являютсн постоянными. Различным амплитудам входного сигнала соответствуют различные коэффициенты гармонической линеаризацни. Именно в этом заключается принципиальное отличие гармонической линеаризации от обычной, коэффициенты которой не зависят от амплитуды входного сигнала, а определяются только видом характеристики нелинейного звена.
Уравнение гармонической линеарнзации (12.3) — это линейное уравнение, поэтому и вся система РА становится линейной. Для ее исследования могут быть использованы методы, разработанные для линейных систем, Зависимость коэффициентов гармонической линеарнзацни от амплитуды сигнала на входе нелинейного звена позволяет выявить специфические свойства нелинейных систем, которые не могут быть определены при использовании обычной лннеаризации.
Определим коэффициент гармонической линеаризации для некоторых нелинейных характеристик, анализ которых позволяет установить некоторые важные для практики положения. Первоначально рассмотрим характеристику с ограничением, график которой показан на рис. 12.1. В соответствии с формулами (12.2) находим, что |6-493 24! а'(а) = О, где а — значение аргумента, при котором наступает ограничение а=агсз1п (с/а). Из выражения (12.4) следует важный вывод: для однозначных нелинейных характеристик коэффициент гармонической линеаризации д'(а) равен нулю и уравнение гармонической линеаризации имеет вид у=д(а)х.
2 т С а/с Рис. 12.2. Зависимость коэффициента гармонической линеаризации нелинейной характерно!ики с ограпичеапем от амплитуды входного сигнала Рис. 12.1. К определению коэффициентов гармонической линеаризации Рис. 12.3. Дискриминационная характеристика нелинейного звсна На рис. 12.2 изображена зависимость коэффициента гармонической линеаризации от амплитуды входного ~ сигнала, рассчитанная по формуле (12А).
Рассмотрим дискриминационную характеристику звена, график которой праведен на рис. 12.3. Характеристика однозначна, поэтому, как и в предыдущем случае, коэффициент гармонической линеаризации с)'(а) равен нулю. Коэффициент д(а) вычисляется по формулам при с!<а<с Г 1 д(а) = — йа+ 2(а! + яз) . с! с! 1 1 ~агсз(п — + — ~/ 1 — — ~ (12.5) и а и аа при а)ст д(а) = — ~(Ф, + йз) ( агсз!и — + — 1 — —— с1 и а ай аа а а ' а'./ На рис. 12.4 показана зависимость коэффициента г)(а) от амплитуды сигнала, вычисленная по (12.5) и (12.6), Ч Од На рис. 12.5 изображена нелинейная характеристика звена с люфтом. Эта характеристика неоднозначна.
Не посредственно из рис. 12.5 н формул (12.2) следует, что коэффициенты гармонической линеаризации определяются выражениями 1 / 1 1 с)(а) = — ~фа+ — ип 2фа+ тр, + — з!п2тр,)! и ~ 2 2 д'(а) = — — (з!паф, — з!п'тр,) Рнс. 12зй Зависимость коэффициента гармони. ческой линеаризацнн дискриминационной характеристики нелинейного звена от амплитуды входного сигнала Рис.
12.5. К определению коэффициента гармоаической лннеаризации нелинейной характеристи. кн звена с люфтом при а>с+А, где ф, = агсз(п —; зра = агсгйп с — Ь . с+А а Графики изменения коэффициентов гармонической линеаризации характеристики звена люфтом показаны на рис. 12.6. Таким образом, если характеристика нелинейного звена неоднозначна, то оба коэффициента гармонической Рнс.
12.6. Завпснмость козффнцнекта гармонической лннеарнзацнн характернс. тнк звена с люфтом от амплитуды входного сигнала Ряс. !2Д. К определенню уравне. ння нелинейной системы РА линеаризации не равны нулю. Поэтому уравнение гармо- нической линеаризации (12.3) зависит ие только от ам- плитуды, но и от частоты сигнала на входе нелинейного звена. й 12,2. УРАВНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ 244 Ранее отмечалось, что при исследовании нелинейных систем РА обычно удается представить систему в виде последовательного соединения двух частей: линейной и нелинейной (рис. 12.7).
Запишем передаточную функцию линейной части в виде йгл(,о) = — А) (РУГЭ(р). Принимая во внимание уравнение (12.3), уравнение нелинейной системы можно записать так: В (р) + Аг (р) ~д (а) + д' (и) — ~ = О. (12,7) В этом выражении не учтены высшие гармоники. Это сделано не случайно и не потому, что онн малы. Дело в том, что если в отдельном нелинейном звене при подаче на его вход синусондального сигнала в выходном сигнале всегда имеются высшие гармоники, то при включении нелинейного звена в замкнутый контур системы из-за фильтрующих свойств линейной части системы высшими гармониками на входе нелинейного звена можно пренебречь.
Если в замкнутой нелинейной системе РА возникают автоколебання с постоянной амплитудой и частотой, то коэффициенты гармонической линеаризацни оказываются постоянными, а вся система стационарной, Незатухающие колебания в замкнутых системах, как показано в гл. 5, возникают в том случае, когда характеристическое уравнение системы содержит пару мнимых сопряженных корней. Потому для оценки возможности возникновения в нелинейной системе автоколебаний необходимо в гармонически линеаризованное характеристическое уравнение системы вместо р подставить )ы. В результате получают уравнение, коэффициенты которого зависят от амплитуды и частоты предполагаемого автоколебательного режима.
Если это уравнение удовлетворяется прн действительных значениях амплитуды автоколебаний а„ и частоты гэ„, то в исследуемой системе могут возникнуть автоколебания с амплитудой а„ и частотой гэ„ устойчивость существования которых необходимо дополнительно оценить. Таким образом, для оценки возможности возникновения автоколебаний в нелинейной системе методом гармонической линеаризации необходимо найти условия границы устойчивости, как это делалось прн анализе устойчивости линейных систем РА. Характеристическое уравнение гармонически линеарнзованной линейной системы имеет вид (12.7), Подставив в него р=)ы, получим 0()га) + Ф(1тв) (о(а) + р7'(и)) = О.
Выделив в последнем выражении вещественную и мнимую части, найдем уравнение В (ы) + )С (в) = О. (12.8) 245 Если при таких значениях а, и со, выражение (12.8) удовлетворяется, то в системе возможен автоколебательный режим, параметры которого рассчитываем по следующей системе уравнений: В(ы„, а) = 0; (12.9) Из формул (12.9) можно найти зависимость амплитуды и частоты автоколебаний от параметров системы, на.
пример от коэффициента усиления линейной части системы. Для этого необходимо в уравнениях (12.9) коэффициент усиления считать переменной величиной, т. е. эти уравнения записать в таком виде: В = (оо„, а,, й) =- 0; С(со„, а„, й) = О. (12.10)' По графикам а„=1(й), оь,=1" (й) можно выбрать коэффициент усиления, при котором амплитуда и частота возможных автоколебаний имеют допустимые значения или вообще отсутствуют. й 12.4. ЧАСТОТНЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ АВТОКОЛЕБАН ИЙ йг„(а) = п(а)+ /в' (а), (12.11) где коэффициенты д(а) и д'(а) вычисляются по (12.2).
Если нелинейная характеристика однозначна, то д'(а) =0 н 1Р',(а) =д(а). Передаточная функция (12.11) определяет амплитуду и фазу первой гармоники колебаний сигнала на выходе нелинейного звена: аз — — ! 1Р'„(а) ( а, Оо(а) = агс1д— ч' (а) ч (о) 246 Решение уравнений (12.9) и (12.10) обычно связано с большими вычислительными трудностями, так как коэффициенты гармонической линеаризацнн имеют сложную зависимость от амплитуды входного сигнала. Кроме того, помимо определения амплитуды и частоты возможных автоколебаннй в нелинейной системе, необходимо оценить их устойчивость. В инженерной практике для этого используется частотный метод, который базируется ' на приближенном выражении для передаточной функции нелинейного звена, определяемой следующим выражением; где (В'„(а)(= к'д'(а)+д" (а); 0.(а) — амплитудная и фазовая характеристики нелинейного звена; а — ампли- туда колебаний на входе нелинейного звена, Таким образом, сигнал на выходе нелинейного звена у = а„з)п (ы! + О„(а)).
Так как линейная и нелинейная части системы соеди- нены последовательно, то частотная характеристика разомкнутой системы )Г~ (!та) = 1Г~ ()Ув) И'„(а). (12.!2) Из выражения (12.12) следует, что частотная харак- теристика разомкнутой нелинейной системы зависит не только от частоты входного сигнала, как это имеет место в линейных системах, но и от его амплитуды. В соответ- ствии с критерием устойчивости Найквнста незатухаюшие колебания в линейной системе возникают в том случае, когда частотная характеристика разомкнутой системы проходит через точку с координатами — 1, !Тх Данное ус- ловие является также условием существования автоколе- баний в нелинейной системе, т.
е. 1Г'р(!ы, а) = — 1. (12.13) С учетом (12.12) условие (12.13) принимает вид Яг (!та) йг„(а) = — 1 илн )г'„()та) = — — = — В'„(а). (12.14) агц (а) Решение уравнения (12.14) относительно частоты и амплитуды автоколебаний можно полу.чить графически, как точку пересечения годографа частотной характеристики линейной части системы и годографа обратной характеристики нелинейной части, взятой с обратным знаком. Если эти годографы не пересекаются, то режим автоколебаний в исследуемой системе не существует.
Устойчивость автоколебательного режима оценивает. ся следующим образом, Режим автоколебаний устойчив, если точка на годографе нелинейной части йг„' (а), соответствующая увеличенной амплитуде по сравнению со значением в точке пересечения годографов (!2.!4), не охватывается годографом частотной характеристики линейной части системы. В противном случае автоколебательный режим неустойчив. На рис. 12.8, а годографы пе- 247 ресекаются в точках Ь и с. Точка Ь определяет неустойчивый режим автоколебаний, так как точка годографа У';,' (а), соответствующая увеличенной амплитуде, охвативается годографом частотной характеристики линейной части системы. Точке с соответствует устойчивый режим автоколебаннй, амплитуда которого определяется по годографу )р„' (а) и равна а „а частота — по годографу Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
