Радиоавтоматика - Коновалов Г.Ф. Москва, 1990 (1000004), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Согласно структурной схеме системы, дифференци. альное уравнение системы относительно ошибки имеет вид 1... 1 йТз д е(1) + — е(1) =ар)+ — х(1) — — — (с" (е)+ар))в Т Т Т Ю л — — (Г (е) + $ (1) ) . Т, Введем обозначение е(1) е,(1). Составим систему диффереицн альных уравнений: ет (1) = ез (1) -1- й, 1 р (е) + ч (1Ц; 1 .. 1 ез(1) — — еа(1)+х(1) + — х(1)+й (р(г)+1(1)1. Т Т Козффициеиты Ь| и (гз вычислим по формулам (З.7): й = — йТ,)Т й, = — й(Т вЂ” Т У(Тг. Введенные переменные г,(1) и ез(1) ивляются составляющими ' марковского процесса, 258 После описания системы стохастическими дифференциальными уравнениями можно перейти к решению уравнения Фоккера — Планка, определяющему плотность веррятности ошибки системы гэ (е) с учетом нелинейной характеристики дискриминатора.
Как отмечалось, решение уравнения Фоккера — Планка может быть найдено в том случае, когда линейная часть системы имеет порядок не выше второго, Решим это уравнение для системы, в которой В'(р) =й/р. Такая система описывается стохастическими дифференциальными уравнением е(г) = — йг (е) + х(е) — й)/Я(0, е) $,(1), (12,36) где В(0, е) — спектральная плотность белого шума; В, (1) — спектральная плотность белого шума с интенсивностью, равной единице. Уравнение Фоккера — Планка в соответствии с (12.32) имеет вид — = — — (А (е) эе(е)1 + — ' (В (е) гв(е)1. (!2.37) дв д дЗ де де де'.
Коэффициенты уравнения (12.37) в рассматриваемой задаче следующие: А(е) = — эг" (е)+ х+ — й' 8 де В(е) = — йеЗ(О,е), (12.38) 4 При решении уравнение Фоккера — Планка обычно записывается так: (12АО) 17» — + — П,=О, дв д (12.39) де де где П„= А(е)ю(е) — — (В(е)ге(е)1 — поток плотности д де вероятности. Найдем плотность вероятности ошибки в установившемся режиме гве(е). В этом режиме дю (е)/д1=0. Тогда уравнение (12.39) принимает вид А(е)ю,(е) — — (В(е)гве(е)1 = П„ д де где П, — поток плотности вероятности в установившемся режиме, значение которого постоянно.
Плотность вероятности гэе(е) — функция неотрица. тельнаЯ, пРи ее-0 она быСтРо Убывает, так что юе(оо) =0; (12.43) при е-~со равна нулю и производная две(е)/де, поэтому уравнение (12.40) будет следующим: А (е) в, (е) — — [В (е) в, (е)) = О. (12.41) ее Проинтегрировав уравнение (12.4! ), найдем е н~е (е) =- — ехр ~ — й, (12.42) с г А(г) н (е) ,) В (г) о где константа С определяется нз условия нормировки г ) в,(е)бе=-1.
В этом выражении через е, обозначены граничные значения дискриминационной характеристики (рис. 12.13). Аналитическое решение уравнения Фоккера — Планка удается получить только для нелинейных систем, в которых линейная часть описывается передаточными функциями Я7(р) =й/р (1+ +рТ) или У7(р) =М(1+рТ,) (1+рТ,). В системах более высокого порядка для решений можно использовать ЭВМ, объем вычислений в которых с повышением порядка системы существенно увеличивается. Поэтому обычно ограничиваются исследованием систем не выше второго порядка. Одним из показателей качества работы систем РА является вероятность срыва слежения. Как отмечалось, при срыве слежения ошибка системы превышает граничные значения, в результате чего система размыкается, Если время размыкания превышает некоторое значение, то система становится неработоспособной.
Вероятность возвращения ошибки в допустимые пределы за сравнительно короткое время мала, поэтому считают, что первое превышение ошибки граничных значений означает срыв слежения, вероятность которого оценивается по формуле Р,р (!) = 1 — ~ в (е, 1) бе, (12.44) е 260 где ге(е, 1) — плотность вероятности ошибки, являющаяся решением уравнения Фоккера — Планка. При этом полагают, что в начальный момент времени ошибка.
слежения е, удовлетворяет условию — е,( (ер(е„, где в зависимости от решаемой задачи е, может быть детерминированной илн случайной величиной. При определении области интегрирования Е следует иметь в виду, что реализация марковского процесса, в которых ошибка выходит за граничные значения, должны быть исключены нз рассмотрения, Для этого в системах, порядок передаточной функции линейной части которых не превосходит второго, достаточно потребовать, чтобы прн е=~е, плотность вероятности ошибки ш(е, г) =0; для систем более высокого порядка такое ограничение оказывается слишком жестким 1121.
В том случае, когда передаточная функция линейной части системы [р'(р)=й/р(1+рТ) и х(г)=аг, а спектральная плотность шума не зависит от ошибки, расчет вероятности срыва слежения можно выполнить по формуле [13) 2 2 1 ем 1 Р,р — — /,„Г ехр — — — +ехр — — =~, (12.45) 2 з / ( 2 0„, ое где в е„= — ~ [Р(е) — ф г[е; 2 Г е, В, е„=- — ~ [Р (е) — [) [ с[е; ьр в, е,, е, — координаты ошибки (рис.
12.13); р=а/й, о, '— дисперсия ошибки в системе, в которой нелинейная характеристика заменена линейной; 1„= — )/ Ы [Т— 1 2п постоянный коэффициент, имеющий размерность частоты. Величины ер, и е,р в (12.45) выполняют функции эквивалентных порогов в системе с линейной дискриминационной характеристикой, достижение которых рассматривается как срыв слежения.
В 113[ отмечается, что расчет по (12.45) позволяет определить вероятность срыва значительно точнее по сравнению с вероятностью вы- хода ошибки за пределы линейного участка характеристики дискриминатора. Расчет вероятности срыва слежения во многих случаях сложен и требует выполнения большого объема вычислительных работ. Поэтому часто ограничиваются оценкой менее полных характеристик. К таким характеристикам относятся, например, среднее время до срыва слежения или критический уровень шума, при котором срыв слежения еще не наступает (см. 112~). ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 12 Г?1АВА 13 ОПТИМАЛЬНЫЕ И АДАПТИВНЫЕ СИСТЕМЫ РАДИОАВТОМАТИКИ й 1з.1. основные сведения Систему РА, обеспечивающую наилучшие показатели качества работы при заданных условиях, называют оптииальной.
Качество таких систем оценивается выбранным критерием оптимальности. При синтезе оптимальных систем различают два типа задач. В задачах первого типа полагают, что структурная схема системы известна и необходимо лишь найти оптимальные значения ее параметров, обеспечивающих экстремальное значение вы. бранного критерия оптимальности. Подобные задачи уже рассматривались в гл. 8 и 9, где изложены методики выбора оптимальных регулируемых параметров из условия минимума интегральных оценок прн заданном начальном состоянии системы, минимума суммарной средней квадратической ошибки при случайных воздействиях.
262 1. В чем сушиость метода гармонической ливеарнзации нелинейных характеристик? 2. Чем отличается гармоничесная линеаризацин от обычной? 3. Что такое статистическая линеаризация нелинейных ха. рактеристнк? Как она осушествляется относительно математического ожидания сигнала и его случайной составляюшей? 4. Как оценивается точность системы РА по метолу статистической линеарпзации? б.
Сформулируйте правило оценки устойчивости и пара метров автоколебапцй. 6. Как оценвваются условн срыва в системах РА? В задачах второго типа система неизвестна, и необходимо определить ее структурную схему и значения параметров, обеспечивающих экстремум принятого критерия оптимальности. Методы проектирования таких оптимальных систем при случайных воздействиях проанализнрованы в гл. 9 н 11, в которых полагали, что характеристики воздействий и объекта управления известны н не изменяются в процессе работы или их изменения являются допустимыми и поэтому можно ограничиться найденными расчетными значениями параметров системы. В действительности статические и динамнческие характеристики систем РА и действующие на них воздействия в процессе работы изменяются в широких пределах непредвиденным образом, т.
е. системы работают в условиях неопределенности (неполноты) априорной информации о характеристиках воздействий и состояния объекта управления (например, параметры пеленгаторов систем измерения угловых координат РЛС сопровождения могут значительно отличаться от расчетных значений). При этом в ряде случаев практически невозможно описать процессы, возникающие в системе из-за изменения условий работы, а иногда не известны н причины, под действием которых изменяются характеристики воздействий н параметры устройств системы. Одним нз возможных способов построения оптимальных снстем РА прн неполной информации о воздействиях и характеристиках устройств состоит в том, чтобы выбранная структура системы н ее параметры минимизи. ровалн критерий оптимальности при наиболее неблагоприятных условиях, например, в системах автосопровождения РЛС обеспечивали минимальную ошибку при максимальном уровне воздействий и минимальном отношении сигнал/шум.
Такие оптимальные системы называ. ют минамаксныли. Современные системы РА с целью повышения качества их работы в условиях неполноты априорной информации строятся как адаптивные системы, в которых в процессе работы системы автоматически определяется необходимая информация о текущем управляемом процессе н в нужном направлении изменяется структура н параметры снстемы. Современный уровень развития радиоэлектроники и вычислительной техники позволяет создавать подобные адаптивные системы. Оптимальные системы РА классифицируются по различным признакам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
