Радиоавтоматика - Коновалов Г.Ф. Москва, 1990 (1000004), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Передаточная функция формируюшего фильтра сиг. нала — это инерционное звено с постоянной времени Т и козффици* ситом усиления, равным единице, Такой передаточной функции формирующего фильтра соответствует следующее дифференциальное уравнение: х(!) +пах(!) = Ьоп(!)а где по=Ьа=1!Т,. В пространстве состояний последнее уравнение имеет вид ят (!) = — и яз (!) + Ь и(!); й (!)=х(0 Таким образом, в рассматриваемой задаче А= — ла! В=1; С=1; Р-/У,; а=«од'„. 2 В установившемся режиме из уравнения (1!.61) следует, что Л л Л оценка сигнала я(!) = — аай1 (!) +«(/(!) 0ь(!)3. Для вычисления коэффициента усиления оптимальной системы необходимо найти дисперсию ошибки фильтрации, для чего нужно решить уравнйние (1!.63), которое в данном примере следующее: /(Р.Ь 2па«/з/(г — Ьо«/ Ь/а = О. 3 т Согласно последнему квадратному уравнению, дисперсия ошибки фильтрации 1(н —— тэг аэУд+Ьо/т' М вЂ” по«/ = (~ р+ 1 — 1) Ь/и/Т, где р= У,/А!,.
Коэффициент усиления рассчитаем по формуле (11.62): « = — '(У +Р). На рис. 116 показана структурная схема оптимальной системы. Передаточная функция системы йта (Р) = з «о 1+ РТо где «,=1 — 1/у' ! +р; Та=ТЯ 1+р. Полученная передаточная функция оптимальной системы совпа. дает с передаточной функцией, найденной по методу Винера в при. мере 9.2. Пример 11.6. Спектральные плотности сигнала и помехи характеризуются выражениями 5 (ы) «пд! /ы', 5а(ы)=д!а. Определить 2 структурную схему и параметры оптимальной системы.
Р е ш е и и е. Формируюший фильтр состоит из двух интегрирую. ших звеньев, соединенных последовательно. Такому фильтру соответ. ствует дифференциальное уравнение х (П = «и о В), где о(!) — белый шум интенсивностью /у„ Уравнения фильтра в пространстве состояний: й (О = аз (~) ' йа(1) = йи" (О Уравнение выхода фильтра: й,(1) =х(1).
Таким образом (с) л(т) Рис. 1!.6. Структурная схема оптимальной системы РЛ Ограничимся рассмотрением установившегося режима, уравнение Риккати в котором определяется (11.63) и для данного примера имеет такой вид: Из последнего выражения получим следуюшую систему алгебраических уравнений с неизвестныын элементами матрицы корреляционных моментов ошибки: 2)с Й вЂ” = — О; д'и )1тз Ртз )таз дгп' )с — О. +Л =О; Уп — — +А йг =О. )(те дзт 2 у и и и Матрица рл симметричная, поэтому Км=)(„и решение системы алгебраических уравнений будет следуюшим: Матрица усиления определяется уравнением (11.62): ~ь~ (г~'а:м„и. ~ Уравнении оптимальной системы имеют вид Л Л Дт (Г) = йе (1) +Л,е(1); Л и (г) = й,е(г), Л где е(г) )(!)=2,(г).
4(ф Рис. 1!.7. Структурная схема оптимальной системы второго порядка На рис. 11,7 изображена структурная схема найденной оптямаль- ной системы, передаточная функция которой йга(Р) = й, (1+ рт„) Ра + Рйз 7 и + йа где Т~=й~(/гт — постоянная времени. ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 1! 1. Пояските физический смысл переменных состояния в дискретных системах. 2. Сформулируйте задачу синтеза дискретного фильтра Калмаиа. 3. Поясните структурную схему оптимального фильтра в задаче фильтрации. 4. Что такое неустойчивость фильтров Калмана? 6. Поясните метод предельного перехода от дискретного оптимального фильтра к ие. прерывному. 6.
Как можно получить оптимальный фильтр Винера из фильтра Калмана? ГЛАВА !2 АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ РАДИОАВТОМАТИКИ $12.1. ОСОБЕННОСТИ НЕЛИНЕИНЫХ СИСТЕМ Строго говоря, линейных систем РЛ не существует, так как характеристики реальных устройств нелинейные и некоторые из ннх не могут быть лииеаризованы, на- пример характеристика релейного элемента. При боль- ших отклонениях сигналов от установившихся значений ' приходится учитывать нелинейные свойства и элементов систем РЛ, допускающих лннеаризацию. В этих случаях процессы в системах РЛ описываются нелинейными диф- ' ференциальными уравнениями, что существенно услож- няет их анализ. В системах РЛ встречаются устройства с различными нелинейными характеристиками ограничения, зоны нечув- ствительности, люфтов в механических передачах. Нели- нейными являются дискриминационные характеристики различных систем автоматической подстройки частоты и пеленгационпые системы автоматического сопровожде- ния цели РЛС.
При составлении дифференциальных уравнений не- линейных систем РЛ сначала составляют дифференци- альные уравнения для каждого устройства системы, При этом характеристики устройств, допускающих линеари- зацию, линеаризуются. В результате получают систему дифференциальных уравнений, в которой одно или не- сколько уравнений нелинейные. Устройства, допускаю- щие линеаризацию, образуют линейную часть системы РЛ, а устройства, которые не могут быть линеаризованы, составляют нелинейную часть, Во многих системах РА нелинейные устройства мож- но представить как статические, зависимость выходного сигнала от входного в которых описывается линейной зависимостью вида у=р(х).
Встречаются случаи, когда линейные устройства опи- сываются дифференциальными уравнениями вида д. =Р(х, х). Характерной особенностью нелинейных систем явля- ется возможность возникновения в них автоколебаний. Исследование условий возникновения автоколебаний, их устойчивости и параметров (амплитуды и частоты) явля- 238 тся одной из задач анализа нелинейных систем, В сне~~мах РА с дискриминационными характеристиками приходится оценивать условия, при которых наступает срыв слежения.
В настоящее время не создано общей теории анализа нелинейных систем автоматики. Разработанные методы позволяют решать лишь отдельные нелинейные задачи, Рассмотрим основные методы анализа нелинейных систем автоматики: !) метод фазовой плоскости; 2) метод кусочно-линейной аппроксимации; 3) метод гармонической линеаризации; 4) метод статистической линеаризации; 5) метод моделирования, Метод фвзовой плоскости применяется для анализа нелинейных систем, порядок которых не выше второго.
На плоскости с координатами е~С) и е(~), где е(!)— ошибка системы или какой-либо другой сигнал, строится траектория движения системы. Плоскость и траекторию движения систем называют фазовыми. По характеру фазовой траектории оценивается качество работы си. стем ы. Метод кусочно-линейной аппроксимации используется в том случае, когда нелинейная часть системы безынерционна и ее характеристика может быть аппроксимирована прямолинейными участками, На каждом таком участке процессы в системе описываются линейными дифференциальными уравнениями, решение которых может быть найдено. В точках излома нелинейной характеристики решения «ошиваются»ч значения переменных в конце данного участка принимаются за начальные условия для последующего участка.
Таким образом удается построить фазовую траекторию движения системы, При большом числе аппроксимированных участков нелинейной характеристики и дифференциальных уравнениях линейной части выше второго порядка вычисления фазовой траектории становятся громоздкими. Метод гаржонической линеаризации базируется на замене нелинейного элемента линейным звеном, параметры которого определяются при синусоидальном входном сигнале из условия равенства амплитуд первых гармоник на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного звена.
Данный метод может быть использован в том случае, когда линейная часть системы является низкочастотным фильтром, т. е. отфильтровывает все возникающие на выходе нелинейного звена гармо. нические составляющие, кроме первой гармоники. 239 Метод статистической линеаризации является приблинсенным и применим для систем произвольного порядка.
Он основан на замене нелинейного элемента линейным звеном, коэффициенты передачи которого по математическому ожиданию и случайной составляющей сигнала на входе нелинейного элемента определяются нз условия статистической эквивалентности нелинейного звена линейному звену. Метод моделирования основан на использовании для анализа нелинейных систем РА различных вычислительных машин. Этот метод пе накладывает ограничений на порядок исследуемых систем и позволяет оценить качество систем при большом наборе начальных условий и различных видах входных сигналов и помех.
В инженерной практике для анализа нелинейных систем РА применяются методы гармонической и статистической линеаризации. Эти методы являются приближенными. Для анализа систем РЛ, порядок которых не выше второго, также используется метод, основанный на теории марковских случайных процессов, позволяющий получить точное решение. $122. МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗВЕНЬЕВ Рассмотрим метод гармонической линеаризацни н линейных характеристик, когда нелинейное звено явля ется статическим.
Пусть на вход линейного звена дейс вует сигнал х=а з(пф, 2Р=Ы. Сигнал на выходе этого звена также будет периодическим. Разложив его в ряд Фурье, получим у = Е'(аяпф) = д(а)аяп2р+д'(а)асоз2р+ у„, (12,1)' где р„— слагаемое, учитывающее вторые и более высокие гармонические составляющие.
Коэффициенты ряда Фурье вычисляют по формулам а(а) = — 1 Г(аяп2))яп2рд2р; 1 Г ла,) о 2л а'(а) = — ( г" (аяп2р)соз2рдф. (12.2) ло,) о При определении разложения (12.1) полагали, что постоянная составляющая отсутствует. Так как а соз ор= В л и к+а е(а) = — [~аз|пффф+ ~ сз(пф|(ф+ ~ аз1пзфг(чр+ ! па о и к — а эл — а 2к + ~ сз|пфбф+ ~ аз!п ~уф= — [ —— 4 Га пс2 к — а зк — а Мп2а с — — + — соз сс1; 4 а (12 4) — хрГгв, то Разложение (12,!) можно записать в виде у = [д(а)+ — р1х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
