Радиоавтоматика - Коновалов Г.Ф. Москва, 1990 (1000004), страница 34
Текст из файла (страница 34)
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНОГО ДИСКРЕТНОГО ФИЛЬТРА Современные методы расчета оптимальных фильтров основываются иа том, что случайные сигналы генерируются из белого шума с помощью формирующих фильтров. Для стационарных случайных сигналов может быть найдена дискретная передаточная функция формирующего фильтра. Для этого необходимо спектральную плотность дискретного случайного сигнала представить в виде про. изведения двух комплексно-сопряженных функций: 5(п) = МР'Ф (/п) (РФ ( — /п), где ЖФ(/и) — частотная характеристика формирующего фильтра относительно псевдочастоты; /Ч вЂ” интенсивность белого шума на входе формирующего фильтра. Для математического описания сигнала при решении оптимальных задач используется передаточная функция формирующего фильтра в виде У-преобразования Ф(~) = Ф(1~) ~ з ! — ! (11.23) '"= г ~+! Передаточная функция (11.23) определяет векторное разностное уравнение формирующего фильтра.
Решение оптимальной задачи заключается в определении оценки вектора переменных состояния формирующего фильтра сигнала и ошибки оценки л Е(п/1) = С(п) — б(а/1). (11.24) Следовательно, С(н/1) и Е(п/1) определяются в дискретные моменты времени 1=пТ на основании их 1 предыдущих значений. Различают три случая: !) если п>1, то задачу оценки называют предсказанием; 2) если п=/, то задачу оценки называют задачей фильтрации; 3) если п(1, то задачу оценки считают задачей интерполяции. В дальнейшем рассматривается задача фильтрации. После предварительных замечаний, сформулируем задачу синтеза оптимальных фильтров (рис.
! 1.3). Полагаем, что случайный дискретный сигнал Х(п) является результатом прохождения белого шума через формирующий фильтр, векторное разностное уравнение которого имеет такой вид: С(л+ 1) = Ф(л+ 1,л)С(п)+ В(л+!) У(л); Х(л+ 1) = С (л + 1) С(л + 1), (11.25) где С (л) — вектор переменных состояния сигнала; Ф(л+1, л) — дискретная матрица перехода; В(л+Ц— матрица управления; Ст(л+1) — транспонированная матрица наблюдения. Рис 11.3. К постановке задачи дискретного фильтра Калмана Гауссовская случайная последовательность У(л) имеет характеристики М [У (л)] = 0; М [У (л) Уг (!)] = Я (л) б„» (11.26) где С(л) — матрица интенсивностей белых шумов на входе формирующего фильтра вектора сигнала; (! при л=!1 ат' 10 при л+1, М означает взятие математического ожидания от выра. жения, заключенного в квадратные скобки.
Начальное состояние вектора переменных состояния С (0) характеризуется гауссовским распределением с характеристиками М[С(0)) =О, М[С(0)Сг(0)] = Ви(0). (11.27) Измеряемый сигнал (воздействие на входе синтезируемого фильтра) Р(л) = Сг(л) С(л) + ]а[(л), (11. 28', где й[(л) — вектор помех с характеристиками. При этом М[М(л)] = 0; М[]Ч(л)й!г(1)] =Р(л)6„» (11.29] где Р(л) — матрица интенсивностей белых шумов векто.
ра помех, 224 Случайные последовательности к[а) и [ч(п) полагаем пекоррелнрованнымн. Задача синтеза состоит в том, чтобы найти векторное разностное уравнение фильтра„ обеспечивающего по измеренным значениям сигнала (11,28) Г(1), Г(2), Г(а) оптимальную текущую оценку вектора переменных состояния сигнала с минимальной дисперсией ошибки: М [Ег(п))Е(п)) = т!и, (11.30) л А где Е(п) =6(п) — С(п/и) — вектор ошибки; 6(и/и)— оценка вектора переменных состояния сигнала.
й !1.4. ДИСКРЕТНЫИ ФИЛЬТР КАЛМАНА Найдем векторное разностное уравнение оптимального фильтра Калмана. По определению оценка вектора переменных состояния сигнала определяется выражением [10) 6(а+ 1/а+ 1) = М[6(п + 1)/Р(1), Р(2),..., Р(а+ 1)). (11.31) Введем с помощью соотношения Г = (а + 1/и) = Г (п + 1) — М [Г (а + 1)/Г (!),..., Г (п)) (11.32) невязку измеряемого сигнала (11.28). Принимая во внимание, что математическое ожидание Р(/) равно нулю, выражение (11.31) перепишем в виде 6(п+ 1/а+ 1) = М[С(а+ 1)/Г(1), Р(2)„, Г(а)) + -1- М [б (п -1- 1)/Г (п + 1/и)) = 6(п + 1/и) -1- + М[6(а+ 1)/Р(а+ 1/а)), (11.33) Так как С(а+1) и Г(и+1/п) — гауссовские последовательности с нулевыми математическими ожиданиями, то второе слагаемое в выражении (11.33) можно записать так: М [6(п+ 1)/Г(п+ 1/и)) = Е Й Г(и+!/и), (11.34) где й =М[6(и+1)Гт(а+1/п)), й =М[Г(а+ + 1/а) Г (п+ 1/а)) — матрицы корреляционных моментов. 15 — 493 Введем матрицу усиления К(п+ !) = !( й:1.
(11.35) Учитывая, что л л С(и + 1/л) = Ф(п+ 1,л) С(п/л), выражение (11.33) представим в виде л л С (и + 1/л + 1) = Ф(л -]- 1, п) С(л/л) + К (и -1- 1) Г(л + 1/п) (11.36) Первое слагаемое в этом выражении определяет оценку в момент времени 1= (л+1) Т по результатам и изме. рений, второе уточняет эту оценку по последнему измерению. Измеряемый сигнал характеризуется выражением (11.28). Невязка этого сигнала (!1.32) некоррелнроввна с вектором помехи й/(п), поэтому выражение (11.32) можно записать так: Г(п -1- !/п) =- Г (и + 1) — С (и + 1) 0(п + 1/п) = = Г(и -]- !) — Сг (п + 1) Ф (п + 1, п) С (п!п). (11.37) Подставив (11.37) в уравнение (11.36), найдем„что Л и С (и + 1/п -1- 1) = Ф (п -1- 1, п) С(п!л) + К (л -1- 1) (Г (л + + 1) — С (и + 1) Ф(п + 1, л) С (л/и)], (11,38) Выражение (11.38) является векторным разностным уравнением оптимального фильтра, в соответствии с которым на рис.
11.4 построена структурная схема фильтра. Из этой схемы видно, что найденный оптимальный фильтр — это система с обратной связью, внутренним контуром которой является формиру!ощнй фильтр сигнала, а параметры обратной связи определяются матри. цей усиления. Найдем эту матрицу. Для этого подставим в выражение (11.37) вектор (11.28). В результате получим Г(л+ 1/л) = С (и+ 1)С(л+ 1)+ Х(п+ 1) — С (п+ 1)Х х С(и+ 1/п) =С (п-1- 1)Е(п+ 1/п)+ Х(п+ 1), (11.39) л где Е(л+ !/и)= С(л+ 1) — С(и+ 1/п) — вектор ошибки.
226 Рассмотрим второй сомножитель матрицы усилений '(11.35), С учетом выражения (11.39) Кр]т МЯ(и+ 1/и) Г(п -[-1/п)] = М [[С (и -]- 1) Е(п-[- .] 1/и) -]- й] (и -[- 1)] [Сг(п -[- 1) Е (и -1- 1/и) -]- й] (п -1- 1)]г ]. //и // (и/л( Рнс. 11.4, Структурная схема оптимального филь. тра После выполнения операций умножения получим К= = Сг(и+ 1) К (и+ 1/и)С(п+ 1)+ Сг(и+ + 1) М (Е (и + 1(п) И г (и + 1)] + М []т] (и + 1)] Х хЕг(и+ !(и)]+ Р(и+ ц, (11.40) где Кн(п+1/п) =М[Е(п-]-1/п) Ет(п+1/и)] — матРнца корреляционных моментов ошибки; Р(п+1) — матрица интенсивности вектора помехи.
Второе и третье слагаемое в (! 1.40) равны нулю. Действительно, принимая во внимание вектор ошибки, из уравнения (11.39) можно записать, что л М [Е(и+ 1(и) [ь]т(и+ 1)] = М [[б(и+!) — б(и+ + 1/п)] [Чг (и -]- 1)) = М [б (и -[- 1) г]г(и + 1)— — М [б (и + 1/п) Хг (и + 1)]. (11. 41) Вектор переменных состояния и вектор помех некоррелированы между собой, поэтому первое слагаемое в (11,41) равно нулю. л Оценку б(и+1(и) с учетом выражения (11.16) представим в виде л а б(п ] !(п) = П А(/)б(п/п), (11.42) с=о 227 где А(1) — матрица формирующего фильтра сигнала.
Так как начальное состояние оценки вектора перемен- ных состояния сигнала равно нулю, то выражение (11.42) также равно нулю. Поэтому второе слагаемое в (11.41) равно нулю и матрица корреляционных моментов (11.40) получается следующей: В =Сг(и + 1) В (и+ 1/л)С(и+ 1)+Р(л+ 1). (11.43) Рассмотрим первый сомножитель матрицы усиления (11.35).
Согласно (11.39), и В = М [[Е(л -1- 1/и) + б(а + 1/п)[ [Ст (и + 1) Е (и + + 1/а) + 5[(а + 1))г ), Раскрыв в этом выражении скобки, найдем, что [( = М [Е (и + 1/л) Ег (л -1- 1/п)) С (и + 1) + +М[б(а -(-1/п)Ет(п-1-1/и)1 С(а+ 1)+ М[Е(п+ и + 1/п)г(г(п + 1)1 + МИ(п+ 1/п) г[г(и+ 1)1. Так как оценка вектора переменных состояния не за- висит от Е(л+1/и) при любых л, то второе и третье сла- гаемые в последнем выражении равны нулю. В соответст- вии с (11.41) оказывается равным нулю и четвертое сла- гаемое, поэтому В~ = В (1+ 1/а) С(л+ 1).
(11.44) Подставив выражения (11.43) и (11.44) в матрицу усиления (11.35), получим К(п+ 1)= !(е(п + Уп)С(п + 1)[Ст(а+ 1) Ва(п+ + 1/п)С(п+ 1)+ Р(а+ 1))-'. (11А5) Матрица корреляционных моментов ошибки в (11.45) л с учетом того, что Е(л+1/п) и С(п+1/п) не зависят друг от друга, определяется по формуле й (и + 1/п) = Ф (и + 1, п) Р. (п/п) Фг (а -1- 1, п) -1- + В(п -1- 1)0 (п) Вт(а+ 1).
(11.45) Таким образом, матрица усиления оптимального фильтра определена. Найдем выражение для вектора ошибки фильтрации: Е(а+ 1/а+ 1) = С(п-[-1) — 0(п+ 1/и+ 1), (11.47) 228 Подставив в (1!.47) оценку вектора переменных со- стояния (11.35), получим л Е (а + 1/п + 1) = б (п + 1) — [б (и + 1/п) + К (а + + 1) Р(л + 1/п)] или, учтя уравнение (11.39), Е (л + !/п + !) = Е(п + 1/а) — К (а -]- 1) [Сг (и -[- + 1)Е(и+ Чп)+ Х(п+ 1)] = [!+ К(и+ 1)бг(п'+ + 1)]Е(п+ 1/п) — К(а+ 1)Х(п+ 1), (11.48) где ! — единичная матрица. Матрица корреляционных моментов ошибки по опре- делению имеет вид Ка(и+ 1/и + 1) = М [Е(п -]- 1/п+ 1) Ег(и+ 1/и+ 1)]. Подставив в это выражение уравнение (11.48) с уче- том М [Е (и + 1/п) й]г (п + 1)] = М [ е[(п -[- 1) Еа (и + 1/п)] = О, определим Ка(а+ 1/и+ 1) =- [1 — К(а+ 1)Сг(а+ 1)]йа(п+ + 1/п)[! — К(п+ 1) С" (и+ 1)]г+ К(а+ 1)Р(п+ +!)Кг(а+ 1), (11,49) Согласно (11.45), К (п + 1) [С (и + 1) Йв (п + 1/п) С (л + 1) + Р (л + 1)1 = = К(и+ 1/а)С(а+ Ц, (11.50) Выполнив умножение матриц в выражении (11.49) с учетом (11,50), получим окончательное выражение для матрицы корреляционных моментов ошибки; Ка(а + 1/л + 1) = [1 — К (п + 1) Сг (а + 1)] Йа(п + 1/п).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
