Радиоавтоматика - Коновалов Г.Ф. Москва, 1990 (1000004), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Так как рассматривают стационарный режим рабогы системы, то интегрирование в выражениях (6.16) берут от минус бесконечности. Подставив выражения (6.16) в (6.16), после неслож- ных преобразований найдем автокорреляционную функ- цию ошибки: Р.() = 7 7 (-.(Л)-.(Ч)Р.(+Х+Ч)+ +'~~())ш~(Ч) Р~(т+ ь — Ч)+ ш,())шз(Ч) Р„ч ~С (т+ )" — Ч) +шзР)ш,(Ч) Рпх(т+) — ~1)! бх Й), (6.17) где Р,(т) — автокорреляционная функция сигнала Р.(т) — автокорреляционная функция помехи; Р,„(т), Р„, (т) — взаимные корреляционные функцнн.
Подставив в последнее выражение вместо т нуль, по- лучим дисперсию ошибки системы: о,';=- [ [ [ы~,())ш,(Ч)Р (Х вЂ” й)+ш,(й)ш,(Ч)Р„х х() — Ч)+ш.())~'(Ч) Р:() — Ч)+ + ш, () ) ш, (Ч) Р„„(Х вЂ” Ч)~ дХ дй = о,'-„, + о,'„+ о';,„+ а',„„. (6.18) 90 Дисперсия ошибки может быть вычислена и через ее спектральную плотность, которая, как известно, равна преобразованию Фурье от автокорреляционной функции ошибки системы (6.17): 5,(а) = ) Н,(т)е '"'дт. Подставив в зто выражение формулу '(6.17), определим спектральную плотность ошибки системы: 5,(а) = ! й',()а) ! ' 5„(а) + ! (Р,(1 ) ( ' 5,(а) + Ит ( — 1а) (Р ((о) 5 (а) -1 йт (1а)')а' ( )а) 5 (а) (6 1а) где 5,(а) — спектральная плотность сигнала; 5„(а) спектральная плотность помехи; 5„,(а), 5„.-(а) — взаимные спектральные плотности.
Так как Р,(т) = — ~ 5,(а)е —:"'бо, ! 2л Ю то в соответствии с выражением (6.14) дисперсия ошибки о", = — ) 1! )т',(1 ) ! '5„(а)+ ~ 11',(!а) ) '5 ( )+ + йт, ( — 1а) ЧУ, (1а) 5кк (а) + 7К, (1а) Ю', ( — 1а) 5„, (а)1 бо = Если сигнал и помеха некоррелированы, то Я,(т) = Рлд (т) 0' 5хл (о) 5цк (а) О и выражения (6,16)— (6.20) упрощаются. Первое слагаемое в (6.20) зависит как от АЧХ ошиб. кн системы, так и от статистических характеристик сигнала, оно определяет среднюю квадратическую ошибку воспроизведения сигнала к(С).
Второе слагаемое в (6.20) зависит от АЧХ замкнутой системы и характеристик помехи, оно характеризует ошибку системы вследствие действия помехи и('1). Последние два слагаемых в (6,20)— составляющие ошибки нз-за корреляции сигнала с помехой н помехи с сигналом. Величин У о = (пзз+ а')'~' (6.2 1) называют суммарной средней квадратической ошибкой системы РА. 91 Вычисление средней квадрзтической ошибки через се автокорреляицониую функцию (6.17) связано с некото.
рыми трудностями, одна из которых связана с цахождс. нием импульсной переходной функции анализируемой системы РА, другая — с вычислением (6.18). Поэтому на практике среднюю квадратическую ошибку рассчпты. вают через спектральную плотность ошибки по формуле (6.20), вычисление интеграла в которой производится пэ формулам, приведенным в приложение П.2. В инженерной практике средиеквадратическая ошиГ>- ка также находится с помощью графоаналитического ме.
тода. Для этого строят графики, соответствующие отдельным слагаемым выражения (6.19). Дисперсия ошибки для некоррелированных сигнала и помехи от= = Я,+Яч/л, где Я, и ߄— площади под графиками спектральных плотностей (рис. 6.7, а, б). Лй о Рнс. 67, К определению средней квадратической ошибки системы РА На практике часто встречаются случаи, когда помеху можно считать белым шумом, спектральная плотность которого в пределах полосы пропускания системы РА постоянна. При этом дисперсия ошибки системы из-за действия помехи Величину (6.22) оэ, = Яа(ю) ю Уп.
(6.23) В табл. 6.2 даны вырансення для вычисления эффективной полосы пропускания систем РЛ, наиболее часто встречающихся в радиотехнических устройствах. Рис. 6.6. К определению эффективной полосы пропускания системы РА Таблипа 6.2 Ф'р (р) )аф К 2 К 1+ рт 2т(! +к) р ((+ ртй ((+ рт,) 2(т,+т — кт,т) к (,т + т к) К И + рта) р((+ рт,) 2Т, (1+ Кта) )+кт,' 2Та к ((+ рта) й 66. системА с Белым шумОм ИА ВхОде Помехи обычно являются белыми шумами, а сигна. лы, как правило, не относятся к белым шумам. Однако если использовать формирующий фильтр, то анализ си.
стем РЛ относительно сигналов сводится к случаю действия па систему белых шумов. 93 называют эффективной полосой пропрскаыия системы РА. Из рис. 6.8 видно, что юао — это основание прямо. угольника, площадь которого равна площади, ограниченной графиком квадрата АЧХ. Дисперсия ошибки )(У) системы РЛ из-за действия помехи ) Формируюи(ий фильтр — устройство, позволяющее генерировать случайный сигнал с заданной спектральной плотностью пз сигнала белого шума.
Характеристики формирующего фильтра для стационарных случайных сигналов определяются, следующим образом. Так как спектральная плотность сигнала является четной дроби»- рациональной функцией частоть~, то опа может быть представлена в ваде двух комплексно-сопряженных соМПОжНтЕЛЕй: 5з(СО) =Ау тр(ута)ф( — уее), ОтКуда И НаХ»- дится передаточная функция формирующего фильтратэ рууф (р) = ф (учв))1.=' Для расчета коэффициентов передаточной функции формирующего фильтра выражение для спектральн»ч плотности сигнала нужно записать в виде сз„, (уто)ем +...+ сз (учо)з+ ср суза (!го) + ' ' '+ суз (уго) + но Ь,о (Уто)о' +...
+ Ьт Ую+ Ьо -! (6.24) по (ую)о +... + а, уто + ао Вычислив квадрат модуля в левой части (6.24) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях частоты слева и справа, получим уравнения для определения коэффициентов передаточной функции формирующего фильтрата ау и Ьь Формирующий фильтр и анализируемая система РА (у образуют некоторую расширенную систему, на вход гго-'() торой действует белый шум. На рис. 6.9 показана схема л(гу' Рис. б 9. Слепа включения формирующего фильтра такой системы для случая, когда помеха является белым шумом. Если помеха не белый шум, то в схему расширенной системы нужно включить формирующий фильтр, который из белого шума будет генерировать случайную помеху с заданной спектральной плотностью, Пример Вон Н.йти передаточную фунипию формирующего фильтра дли си-нала, возникающего из-за колебаний летательного ап- парата, спеатральная плотность которого Эк(м) = Ук 1+ Тка ю ,ат ~т» ю« + 4$з Т юз + 11 Решение.
В соответствии с выражением (624) !+Тасю ~ Ь,+Ьх)ю '4 Уи =Уи мт„т«ы«+45ттзмт+! ! ю(аа(гю)з+а,гм+ао) ~ Из последнего выражения найдем, что ь,=1; ь,=т„;! а = 1, аз = 2Т„(1+2з"), аз — — Т . Таким образом, передаточная функция формпрующего фильтра имеет вид 1+т„,р 6УФХ (Р) т т р(т'„рт+25 тир+11 (6.25) 95 где 25«=(2(2ьх+!)) 'з. На вход формнруюшего фильтра с передаточной функцией (625) нужно подать белый шум с уровнем спектральной плотностн У,.
Пример 6.5. Определить среднюю квадратическую ошибку си. стемы автоматического сопровождении нели РЛС, передаточная функция которой в замкнутом состоянии имеет вид 1+ рт, (!+ртН (!+рт,) ' где Т~=037 с; Т»=05 с, Ть=О,!4 с. На систему поступают: 1) сигнал, обуславленаый перемещением сопровождаемой пели относительно РЛС, установленной на летательном анвара~с. Математическое ожидание и спектральная плотность случайной составляющего итого сигнала определяются выражениями У„ х М 8»(ю) 3 «т « ма 11 ! Тт ыт) где гх=0,125 Рад с-'! У, 3,05 10-' Рад'с; Т„=20 с; 2) случайное воздействие, вознпкаюшее из-за колебаний летательного аппарата относительно пентра масс.
Спектральная плотность етого воздействия 1+ тт Як(М) Ук З 4 4 З З З г ю (т~ 4+4~1 т а+11 где У«=0,15 1О-'рад» с; Т,=0,4с; Т,«=2,5с; 43» 1; 3) угловой шум, возникающий из-за того, что центр отражения Радиолокационного сигнала «блуждает» по сопровождаемой пели. Этот шум можно считать белым с уровнем сгектральпой плотности Иб! 5»„,=(0,25 х'./й)', где А — геометрический размер пели; У— дальность до сопровозкдаемой цели; 4) помехи, обусловленные тептовым шумом приемника РЛС и флуктуапнями отраженного от пели сигнала.
Эти воздействия прн анализе точности системы можно считать белыми шумами и объ- единить в одно воздействие с уровнем спектральной плотности 5ф(ы) =Фа, где Уе = О 31 10-з рад с Р е ш е н и е. Математическое ожидание (динамическая ошибка системы) в соответствии с (6.13) ще =- 1!ш рй е (р) — = (Тз + Тз — Тз) а = О, 17 10 е рад, а-о Р' где ц,(р) =! — цг~(р) — псредаточнаи функпия ошибки системы ав- томатического сопровождения нели РЛС. Дисперсия ошибки системы относительно случайной составляю- щей сигнала вычисляется по формуле (6.20), в которой спектраль.
ная плотность пад знаком интегралз 5,х (ы) =-7ук ( цг,(!ю) цгФк(!то) ( 1 где ц'фх(/ю) =., — частотная характеристика формп. !зп (! + !юТк) рующего фильтра сигнала. Таким образом, дисперсия ошибки относительно сигнала с,!о+с, о = — 77 бю = 2п,! в 1,! (!ю)з-(-г( (ую)з ~ л (!та) „'- ! с! Ио+ СО (з = д'„ 2г(о (с(з с(з — г(а (з) где с~=Т~Тз; со Т~+Тз — Тз' г(з Т,ТзТ,:, г(э Т>Тз+ТР+Тзу'; А= =Т,+Т,+Т.; (,=1. Последний интеграл найден по формуле, принедевной в прило- жении П.2 для а=3.
Подставив значения параметров системы и сиг. з нала в последнее выражение, найдем, что п,„=0,21 10-'рад'. Слу- чайный сигнал, возникающий из-за колебаний летательного аппара- та, является управляющим воздействием, позтому в формуле для дисперсии ошибки он определяется через передаточную функцию ошибки. Дисперсия ошибки системы относительно сигнала колеба- ний летательного аппарата, согласно (6.20), о,„=- — ~ Д!к(Ц (! )Ц „(! )) б = — ~ Д'„ЗС сзк (!ю) + сгк!г" + сок Аи (!ю)'+ «зк (!ю)' (-«зк ()ы)'+ Ак Уы+ (ьк ~ где цга.(!ю) — частотная характеристика формирующего фильтра для колебаний летательного аппарата, определяемая выражением (6.25); гп, —— Т,ТзТ„,; с,к — — Тк, (Тз+ Т, — Т,); са„= Тг+ Тз — Т„ 96 Этот интеграл вычисляется по формуле, данной в приложении П 2 для случая л = 4: + 1к хк зн) После подстановки в зто выражение заданных значений пара.
метров системы и сигнала получим и;„ =2,31 !О-'рад'. Угловой шум и флунтуации отраженного от цели сигнала яв. ляются помехами для системы автоматического сопровождения пе. ли, снижающими точность сопровождения цели. Составляющие дисперсии ошибки системы, возникающие из.за углового шума и флуктуапий отраженного от цели сигнала, опре. делаются выраткенияыи 2 ) 1 йт ( Я ( Х Т 1 2Т, Т, (Т, + Т,) г (Т, + Т,) 3 1 (' а,й — — ~ ) йуз ((ы) ( ?~ф (ы) бы = Аф ~ + ф — 2 ~ з ( 2Т, Т, (Тх .+ Т,) 1 2 (Тт + Тз) ~ ' Прп дальности до сопровождаемой цели )? 5000 м и А б м зти ошибки имеют следующие значения: и;„ш=0,036 1О ' рад'; и =1,73.10-' рад'. ее Таким образом, суммарная средина нвадратическая ошибка си.
стемы автоиатнческого сопровождения нели РЛС в соответствии с (6.21) ох = (гп;-Рп,„+и „+о; +о;Е) ' = 0,28 1О рад, ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 6 7 — 493 1. Какие характеристики составляют понятие качества работы системы РА? 2. Определите показатели качества переходного процесса н частотные показатели, поясните их физический смысл, 3. Поясните связь частотных поиазателей качества рабаты с частотными характеристиками разомкнутой системы РА. 4. Что такое статическая и динамическая ошибки си. стемы РА? 5. Кение воздействия относятся к медленно изменяющимся сигнвлвм? 8. Кзквм образом экспериментальным путем можно определить ошибку системы РА по положению и по скорости? 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
