Радиоавтоматика - Коновалов Г.Ф. Москва, 1990 (1000004), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Обычно стремятся, чтобы показатель колебательности ие превышал двух. Рассмотрим некоторые приближенные соотношения, устанавливающие связь между параметрами частотных характеристик замкнутой и разомкнутой систем, которые позволяют оценить частотные показатели качества работы системы РА без построения АЧХ замкнутых систем. т!астотные характеристики замкнутой и разомкнутой систем связаны соотношением ° ( ) )Ррбы) =)') + ! -сч ссрсГ! ° . - с+ш,(!о) -[ ~я~„( )) где /)(Ур(усо) (, срр(со) — АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы.
Из последнего выражения находим, что ) В',((то) ) = [1+ + сов фа (со)~ 1(,(йо)). )Ро(1!)) (6.3) ср,(со) = агс(и ) )т о (йя) ) + со5 фо (со) или при Лср(со) =и — ср,(со) ( )Р, (1'а!) ) = [1+ — сов Лср(ь!)1 ) ((то Вм) ) - ) "о ((со) ) (6.4) сро(о!) = — агс(й Мо Лф (м) ( и р()м) ( — соо Ьср(м) Из уравнений (6.3) и (6.4) следует, что в диапазоне частот, в котором ) Ъ',(уо>) ( 1, АЧХ равна единице, а ФЧХ мало отличается от нуля. В диапазоне частот, в котором (1Рр()со) ( ~1, характеристики ) РУ,((со) ( и сро(со) совпадают с характеристиками разомкнутой системы. На частоте, равной полосе пропускания, АЧХ замкнутой системы равна единице.
Тогда, согласно (6.4), (~~(1 ~)! (6.5) 83 В диапазоне частот среза и пропускания логарифмическая ЛЧХ разомкнутой системы имеет наклон — 20дВ/дек. Поэтому ФЧХ в этом диапазоне частот изменяется незначительно и можно принять, что Лср(юч) = =Лср(юср) =Лср. Тогда выражение (6.6) принимает вид ! ))ур(/ .)! = 1 2 соз Лт Полоса пропускания и частота среза связаны соотно. шепнем 20 !и — "и = — 20 !я ! ))Ур (/отя) ! юср Отсюда юн = 2ю,р соз Л~р, (6.6) Значение показателя колебательности системы РЛ можно определить, если исследовать на максимум выражение (6А). В диапазоне частот, в котором расположена резонансная частота, ФЧХ разомкнутой системы изменяется незначительно и приблизительно равна этой характеристике на частоте.
среза. Поэтому для отыскания максимума (6А) можно продифференцировать это выражение по !))Ур(/ю) ( и приравнять его нулю. В ре. зультате получим, что максимум АЧХ замкнутой системы получается при !))Рр(/оз)(=!/созЛтр. Подставив это выражение в (6.4), найдем, что колебательность системы связана с запасом устойчивости по фазе выражением М = 1/з!п Лф. (6.7) Пример 6.2.
Оненить частотные показатели хачества работы системы, частотная харантеристиха которой в разомнпутом состояаии 40 ! + /ю0,25 /<о (! +/ю0,5) (! +/ю0,025)э, Решение. На рис. 6.4 построены ЛЧХ разомкнутой и замхнутой систем, Из этих характеристик видно, что запас устойпюости по фазе ранен 0,89 рад; ю, 12,5 с-', М 1,2. Оцеиха поназателей по формулам (66) и (6.7) позволяет получить следуюнхие результаты: ы,=126 с-', М=!,28, т. е, оненха параметров АЧХ по этим формуаам обеспечивает достаточную для практики точность.
й 84, АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ РАБОТЪ4 СИСТЕМ Помимо статистических ошибок, которые были рассмотрены в з 4.3, точность работы систем РА характеризуется динамическими и переходными ошибками '(рис. 6.6). Динамическая ошибка — ошибка в установившемся 84 режиме работы системы при действии на нее нестацнонарного сигнала. Переходная ошибка — ошибка при работе системы в переходном процессе, который возникает при отработке начального рассогласования. л.
йб' аа га га Рнс. бя. К оценке частотиык показателей качестна работы спстен РЛ Рнс. 6.6. К цоясненню точности работы системы РЛ или в области действительного переменного е(1) = С,х(1)+ С,х(1)+ — С,х(1)+...+ — Сах1а1(1), й А1 (6.9) 85 Динамическая точность работы систем РА определяется при медленно изменяющихся входных сигналах (воздействия, число производных от которых ограничено). Сигнал (6.1) относится к медленно изменяющему воздействию, так как число производных от этого сигнала, не равных нулю, равно ц', а К+1-я производная равна нулю. Гармонический сигнал не является медленно изменязощимся, так как число производных от него равно бесконечности. Переходные процессы в системах РЛ затухают значительно быстрее по сравнению с изменением медленно изменяющегося сигнала, поэтому и достигается установившийся динамический режим работы системы, В соответствии с определением передаточной функции ошибки (4.12) преобразование Лапласа для ошибки системы Е (р) = $' (р)Х (р) =- (С, + С, р -1- — С, + ...
+ — Сн Р 1Х(р) ! 1 (6,8) Число слагаемых в последнем выражении ограниче- но, так как сигнал х(Ь) является медленно изменяющим- ся воздействием. Для нахождения неизвестных коэффи- циентов Сн которые называют коэгрфийигнтаз1и о~иибки, известны три способа. Первым способом эти коэффици- енты вычисляются по формуле ~р Ср = н( — „Я7 (р) (р=р е А Вторым способом коэффициенты ошибок находятся путем деления числителя передаточной функции ошибки на ее знаменатель. Наиболее удобным является третий способ. Переда- точную функцию ошибки представим в виде Ьл Рл+Ьл — ер" '+ +Ье Р+ Ье е1 ~е а„р" + а„, р" — е+...+ а, р+ а, Перемножив полинам знаменателя последнего выра- жения на (6.8), получим 1 (ал р" + а„р р" — ' +...+ а, р + ар! (С, + Ср р + — С, р + 2 (...+ ' С, Р)=б„р+б„, — +...+Ь,р+Ь,.
(6,1О) Ь Приравняв коэффициенты прн одинаковых степенях р слева и справа в выражении (6.10), определим форму- лы для последовательного вычисления коэффициентов ошибок. В результате найдем, что .е ' ' ае С, = ~ (6,— аС,— а С!. ае Из выражения (6.9) следует, что коэффициенты оши- бок имеют размерность с', В инженерных расчетах коэффициенты ошибок удоб- нее рассчитывать через коэффициенты передаточной функции разомкнутой системы: )уе ( ) К ~ел Р + ° ° +ар Р +~е Р+ ае (6 11) Рт Ьл Р" + ° ° ° + Ьр Р + Ье Р + Ь„ В табл. 6.1 приведены формулы для расчета первых трех коэффициентов ошибок статических и астатическнх систем РА через параметры передаточной функции (6.11), Таблица 61 с! Формулы Ллл рзозотз ! !+К т( Ьз — о' (1+ б)з с Ьз — Из, Ь, (И, — Ьз) з ве, (Н! — Ь,] 1 (1 ) (Оз ' (1 ( т()з (1 ) т~)з с Первое слагаемое в выражении (6.9) называют ошибкой по положению, а коэффициент Са — коэффициентом ошибки по положеншо, второе слагаемое — ошибкой по скорости, а коэффициент С! — коэффициентом ошибки по скорости.
Аналогично, третье слагаемое в (6,9) пазы. вают ошибкой по ускорению, а коэффициент Са — коэф. фициентоа! ошибки по ускорению. Учитывая особенности передаточных функций астатическнх систем РА, нетрудно установить, что в таких системах т первых коэффициентов ошибок равны нулю, где ч — порядок астатизма системы РА. При анализе качества работы систем РА помимо вычисления ошибок при медленно изменяющихся сигналах приходится оценивать точность и при гармонических воздействиях. В этом случае нельзя применять метод коэффициентов ошибок, так как число производных от гар. моннческого сигнала не ограничено. Очевидно, что при этом для расчета ошибок необходимо использовать частотные характеристики. По ЛЧХ ошибки вычисляется амплитуда колебаний ошибки, а по ФЧХ вЂ” сдвиг колебаний ошибки относителньо входного сигнала, Пример 6.3.
Найти динамичесиую ошибку при входном сигнале 1 «(г) =аз(+ — а,н следяшей системы, передаточная функция ко. 2 К 1+рт торой в разомкнутом состоянии ать(р) =— р (1 + рТ,)(1 + рТ,) ' р е ш е н и е, Коэффициенты ошибок вычисляются по формулам 1 (Ть+ Тз — Тз 1 табл.б.1дляС =О; С = —; С =2~ о в т — . 3— ((1 Динамическая ошибка системы в соответствии с выражением (б 9) 1 1 Г 11 е (т) = — (аз + аз Г) + — ) Тз + Т, — Т, — — ~ аз.
Из этого выражения следует, что при увеличении коэффициента усиления системы и введении форсируюшего звена ошибка уменьшается, увеличение же постоянных времени инерционных звеньев ухуд. шает динамическую ошибку системы. 6 6.6. СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА СИСТЕМЫ Качество работы систем РА при случайных воздейст- виях оценивается по суммарной средней квадратической ошибке. В большинстве случаев закон распределения ошибки системы можно считать гауссовским, поэтому для расчета составляющих суммарной средней квадрати- ческой ошибки достаточно учесть математическое ожи- дание и корреляционную функцию ошибки или ее спект- ральную плотность. Прежде чем рассматривать методы вычисления сум- марной средней квадратической ошибки, установим, че- рез какие передаточные функции в выражение для суммарной ошибки входят сигнал и помеха, полагая, что на вход системы подается воздействие вида ) (() = х (т) + а ((), где х(() — случайный сигнал; и(() — случайная помеха.
Суммарная ошибка системы (рис. б.б) е (г) = х(() — у(!), где у(ту — выходной сигнал системы. Преобразование Лапласа для суммарной ошибки Е (р) =- Х (р) ()У,(р) Р(р) = УУ,(р) Х(р) — Яке(р)п(р), (6.12) где В'. (р) — передаточная функция замкнутой системы; (р',(р) — передаточная функция ошибки анализируемой системы; Х(р), п(р)— преобразования Лапла- л!'с! са для сигнала и помехи.
хус! еге! РФ Из выражения (6.12) !Ре(р! следует, что суммарная ошибка состоит из еФ двух составляющих, одна из которых, определяющая точность воспроизведения снгна. Рис 66. К опРеделению суммэрной ошибки ла, зависит от передаточной функции ошибки, вторая, обусловленная действием помехи, — от передаточной функции замкнутой системы.
При анализе средней квадратической ошибки ограничимся случаем, когда сигнал и помеха являются стационарными случайными функциями, При атом математическое ожидание помехи будем полагать нулю, а случайный сигнал представим в виде о х(>) = т„+ х(!), О где т — математическое ожидание сигнала; х1!) — случайная составля1ощая сигнала.
Математическое ожидание суммарной ошибки рассчитывают по теореме о конечном значении функции (см. приложение П.1): т, = 1ип ррах,(р) т„(р). (6.13) е- о Точность системы относительно случайных составляющих сигнала и помехи оценивается дисперсией ошибки ое = Л4 [е (!)! = юе(т) [е=с~ (6,14) где а,— дисперсия ошибки; а,— средняя квадратическая 2 ошибка системы; е(!) — ошибка системы; М вЂ” математическое ожидание от квадрата ошибки; к,(т) — авто- корреляционная функция ошибки. На основании зргоднческой теоремы автокорреляци- онную функцию ошибки находят как среднее по времени от произведения случайных составляющих ошибки, раь деленных промежутком времени т: ч.т Р,(т) = еЯ; (/+ т) = 1нп — [ еЯе(1+т)Ф, (6.16) т 9Т -т о о где е(1) =х(1) — уЯ вЂ” случайная составляюшая су..- марной ошибки. По теореме свертки (см, приложение П.1), согласно (6.12), е(1) = ~(ш,(),)х(1 — 1.) — ш,())п(1 — Х))дХ; (6.16) е(1+т) = [ (ш,(Ч)х(1+т — Ч) — ш,(Ч)в(1 -1-т — Ч))с$Ч, где ш,Я вЂ” импульсная переходная функция ошибки системы; ш,Я вЂ” импульсная переходная функция замк- нутой системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
