Сформулировать теоремы о связи типа особой точки с видом лорановского разложения и некоторые доказать
Сформулировать теоремы о связи типа особой точки с видом лорановского разложения. И некоторые доказать.
Рядом Лорана называется ряд =
+
.
Второе слагаемое представляет собой степенной ряд и, как всякий степенной ряд, сходится в круге . Это слагаемое называется правильной частью ряда Лорана и является, как сумма степенного ряда аналитической функцией.
Первое слагаемое называется главной частью ряда Лорана. Делая в нем замену , запишем главную часть в виде
. Относительно переменной t
это – степенной ряд, сходящийся в некотором круге . Возвращаясь к переменной z, получим, что главная часть сходится во внешности круга, радиуса r:
. Ряд Лорана сходится в области, представляющей собой пересечение областей сходимости правильной и главной частей. Поэтому область сходимости ряда Лорана представляет собой круговое кольцо
. Радиусы сходимости r, R определяются для степенных рядов обычным образом, сходимость на границах кольца также исследуется, как в степенных рядах. Кольцо может быть вырождено, представлять собой окружность, если r = R или пустое множество, если r > R.
Теорема. Для того чтобы была правильной точкой функции
, необходимо и достаточно, чтобы функции
была ограниченной в окрестности точки
.
Доказательство. Необходимость. Если - правильная точка функции
, то, доопределяя ее в точке
, сделаем функцию аналитической, следовательно, и непрерывной, (тогда
). Непрерывная функция является ограниченной в некоторой окрестности точки
.
Достаточность. Пусть функция - аналитическая в проколотой окрестности точки
и ограничена в окрестности
.
Рекомендуемые материалы
Так как функция аналитическая в круговом кольце
, то по теореме Лорана ее можно разложить в этом кольце в сходящийся ряд Лорана
. Справедливы неравенства Коши
. Рассмотрим
.
. Следовательно,
.
Тогда ряд Лорана для функции
превращается в ряд Тейлора
. Доопределим функцию в точке
.Тогда функция
станет аналитической в окрестности
как сумма степенного ряда. Поэтому точка
- правильная точка функции
.
Следствие. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности правильной точки представляет собой ряд Тейлора и не содержит членов с отрицательными степенями.
Теорема. Для того чтобы точка
была полюсом n-го порядка функции
, необходимо и достаточно, чтобы ее разложение в ряд Лорана по степеням
не содержало степеней ниже (-n) и содержало слагаемое
.
Доказательство. Необходимость. Если точка
- полюс n-го порядка функции
, то
. Разложим аналитическую функцию
в ряд Тейлора
по степеням
и подставим разложение.
.
.
Достаточность. Пусть . Тогда
, где
- аналитическая в точке
функция (как сумма степенного ряда). Поэтому
- полюс n-го порядка функции
.
Теорема. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности существенно особой точки конечной плоскости содержит бесконечное количество отрицательных степеней
.
Доказательство. Если разложение в ряд Лорана в окрестности особой точки конечной плоскости не содержит отрицательных степеней, то точка
- правильная (доказанная выше теорема) - противоречие. Если разложение в ряд Лорана содержит конечное число отрицательных степеней, то точка
- полюс (.доказанная выше теорема) - противоречие. Остается только вариант наличия в разложении бесконечного числа слагаемых с отрицательными степенями.
Классификация особой точки (конечной плоскости) функции
по ее разложению в ряд Лорана в окрестности этой точки.
Если разложение функции в ряд Лорана в окрестности
(по степеням
):
1. Не содержит отрицательных степеней, то - правильная точка
.
2. Содержит конечное число отрицательных степеней, то - полюс
, причем наинизшая отрицательная степень определяет порядок полюса.
3. Содержит бесконечное количество членов с отрицательными степенями, то - существенно особая точка
.
Это следует из доказанных выше теорем.
Классификация бесконечно удаленной особой точки функции
по ее разложению в ряд Лорана в окрестности этой точки.
Разложение в ряд Лорана в окрестности точки , т.е. в области
представляет собой ряд Лорана по степеням z:
, в котором главная часть, определяющая особенности функции, содержит положительные степени, а правильная часть – отрицательные степени.
Если разложение в ряд Лорана в окрестности точки , т.е. в области
:
1 Не содержит положительных степеней, то - правильная точка
.
2 Содержит конечное число положительных степеней, то - полюс
, причем наивысшая положительная степень определяет порядок полюса.
3 Содержит бесконечное количество членов с положительными степенями, то - существенно особая точка
.
Примеры.
Вместе с этой лекцией читают "13 - Бактериологический состав и радиоактивность".
1 . Это и есть разложение в ряд Лорана в окрестности точки
, т.е. в области
, поэтому
- полюс
второго порядка.
2 . Разложение по степеням
:
справедливо в области
, т.е. в окрестности точки
. Оно содержит бесконечное количество членов с положительными степенями, поэтому
- существенно особая точка
.
3 . Запишем разложение в окрестности точки
, т.е. в области
.
. Разложение не содержит положительных степеней
, поэтому точка
- правильная, точнее, нуль первого порядка.
4. . Запишем разложение по степеням
в окрестности точки
.
В разложении старшая положительная степень – первая, поэтому - полюс первого порядка. Это же разложение справедливо в области
, поэтому оно является разложением в окрестности точки
. В нем бесконечное количество отрицательных степеней, поэтому точка
- существенно особая.