Сформулировать теоремы о связи типа особой точки с видом лорановского разложения и некоторые доказать
Сформулировать теоремы о связи типа особой точки с видом лорановского разложения. И некоторые доказать.
Рядом Лорана называется ряд = +.
Второе слагаемое представляет собой степенной ряд и, как всякий степенной ряд, сходится в круге . Это слагаемое называется правильной частью ряда Лорана и является, как сумма степенного ряда аналитической функцией.
Первое слагаемое называется главной частью ряда Лорана. Делая в нем замену , запишем главную часть в виде . Относительно переменной t
это – степенной ряд, сходящийся в некотором круге . Возвращаясь к переменной z, получим, что главная часть сходится во внешности круга, радиуса r:
. Ряд Лорана сходится в области, представляющей собой пересечение областей сходимости правильной и главной частей. Поэтому область сходимости ряда Лорана представляет собой круговое кольцо . Радиусы сходимости r, R определяются для степенных рядов обычным образом, сходимость на границах кольца также исследуется, как в степенных рядах. Кольцо может быть вырождено, представлять собой окружность, если r = R или пустое множество, если r > R.
Теорема. Для того чтобы была правильной точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы функции была ограниченной в окрестности точки .
Доказательство. Необходимость. Если - правильная точка функции , то, доопределяя ее в точке , сделаем функцию аналитической, следовательно, и непрерывной, (тогда ). Непрерывная функция является ограниченной в некоторой окрестности точки.
Достаточность. Пусть функция - аналитическая в проколотой окрестности точки и ограничена в окрестности .
Рекомендуемые материалы
Так как функция аналитическая в круговом кольце , то по теореме Лорана ее можно разложить в этом кольце в сходящийся ряд Лорана . Справедливы неравенства Коши . Рассмотрим . . Следовательно, .Тогда ряд Лорана для функции превращается в ряд Тейлора . Доопределим функцию в точке .Тогда функция станет аналитической в окрестности как сумма степенного ряда. Поэтому точка - правильная точка функции .
Следствие. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности правильной точки представляет собой ряд Тейлора и не содержит членов с отрицательными степенями.
Теорема. Для того чтобы точка была полюсом n-го порядка функции , необходимо и достаточно, чтобы ее разложение в ряд Лорана по степеням не содержало степеней ниже (-n) и содержало слагаемое .
Доказательство. Необходимость. Если точка - полюс n-го порядка функции , то . Разложим аналитическую функцию в ряд Тейлора по степеням и подставим разложение. . .
Достаточность. Пусть . Тогда
, где - аналитическая в точке функция (как сумма степенного ряда). Поэтому - полюс n-го порядка функции .
Теорема. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности существенно особой точки конечной плоскости содержит бесконечное количество отрицательных степеней .
Доказательство. Если разложение в ряд Лорана в окрестности особой точки конечной плоскости не содержит отрицательных степеней, то точка - правильная (доказанная выше теорема) - противоречие. Если разложение в ряд Лорана содержит конечное число отрицательных степеней, то точка - полюс (.доказанная выше теорема) - противоречие. Остается только вариант наличия в разложении бесконечного числа слагаемых с отрицательными степенями.
Классификация особой точки (конечной плоскости) функции по ее разложению в ряд Лорана в окрестности этой точки.
Если разложение функции в ряд Лорана в окрестности (по степеням ):
1. Не содержит отрицательных степеней, то - правильная точка .
2. Содержит конечное число отрицательных степеней, то - полюс , причем наинизшая отрицательная степень определяет порядок полюса.
3. Содержит бесконечное количество членов с отрицательными степенями, то - существенно особая точка .
Это следует из доказанных выше теорем.
Классификация бесконечно удаленной особой точки функции по ее разложению в ряд Лорана в окрестности этой точки.
Разложение в ряд Лорана в окрестности точки , т.е. в области представляет собой ряд Лорана по степеням z: , в котором главная часть, определяющая особенности функции, содержит положительные степени, а правильная часть – отрицательные степени.
Если разложение в ряд Лорана в окрестности точки , т.е. в области :
1 Не содержит положительных степеней, то - правильная точка .
2 Содержит конечное число положительных степеней, то - полюс , причем наивысшая положительная степень определяет порядок полюса.
3 Содержит бесконечное количество членов с положительными степенями, то - существенно особая точка .
Примеры.
Вместе с этой лекцией читают "13 - Бактериологический состав и радиоактивность".
1 . Это и есть разложение в ряд Лорана в окрестности точки , т.е. в области , поэтому - полюс второго порядка.
2 . Разложение по степеням : справедливо в области , т.е. в окрестности точки . Оно содержит бесконечное количество членов с положительными степенями, поэтому - существенно особая точка .
3 . Запишем разложение в окрестности точки , т.е. в области .
. Разложение не содержит положительных степеней , поэтому точка - правильная, точнее, нуль первого порядка.
4. . Запишем разложение по степеням в окрестности точки .
В разложении старшая положительная степень – первая, поэтому - полюс первого порядка. Это же разложение справедливо в области , поэтому оно является разложением в окрестности точки . В нем бесконечное количество отрицательных степеней, поэтому точка - существенно особая.