Используя аксиоматическое (по Колмогорову) определение вероятности, докажите утверждения
Используя аксиоматическое (по Колмогорову) определение вероятности, докажите утверждения.
Вероятность удовлетворяет следующим свойствам:
1. Вероятность противоположного события:
2. Вероятность невозможного события: P(Æ) = 0
3. Если , то
4. Вероятность заключена между 0 и 1:
Лекция "2. Основные понятия и определения" также может быть Вам полезна.
5. Вероятность объединения двух событий:
6. Вероятность объединения любого конечного числа событий:
Доказательство.
Поскольку , то, согласно расширенной аксиоме сложения, , откуда с учетом аксиомы нормированности получаем утв. 1. Утв. 2 вытекает из равенства A = A + Æ и расширенной аксиомы сложения. Пусть . Тогда B = A + (BA). В соответствии с расширенной аксиомой сложения P(B) = P(A) + P(BA). Отсюда и из аксиомы неотриц. приходим к утв. 3. В частности, так как всегда , то с учетом аксиомы неотриц. получаем утв. 4. Поскольку ,, то, используя расширенную аксиому сложения, находим и . Подставляя в первое из последних двух равенств вероятность P(BA), выраженную из второго равенства, приходим к утв. 5. Утв. 6 можно доказать с помощью метода матем. индукции. Так, для трех событий A, B и С: