Докажите, что при n испытаниях по схеме Бернулли вероятность Pnm того, что ровно m из них будут успешными, определяется равенством

Докажите, что при n испытаниях по схеме Бернулли вероятность P_nm того, что ровно m из них будут успешными, определяется равенством: .

Доказательство. Пространство элементарных исходов W состоит из 2ⁿ исходов, каждый из которых отождествляется с определенной последовательностью УНН...У. Каждому элементарному исходу =УННУ…УН можно поставить в соответствие вероятность P(w) = P(УНН...У). В силу независимости испытаний события У, Н, Н,..., У являются независимыми, поэтому по теореме умножения вероятностей имеем: P(w) = pⁱ q^n-i, если успех имел место i раз. Событие A_m происходит всякий раз, когда реализуется элементарный исход w, в котором i=m. Вероятность любого такого элементарного исхода равна p^m q^n-m. Число таких исходов совпадает с числом способов, которыми можно расставить m букв «У» на n местах, не учитывая порядок, в котором их расставляют. Число таких способов равно . Так как A_m есть объединение (сумма) всех указанных элементарных исходов, то окончательно получаем для вероятности P(A_m) = P_nm данную в условии формулу.