Стохастические интегралы по винеровскому процессу

§2 Стохастические интегралы по винеровскому процессу.

2.1. Пусть на некотором стохастическом базисе  задан  - одномерный винеровский процесс. Целью данного параграфа является построение стохастических интегралов вида  для некоторого класса функций . Сначала заметим, что интегралы такого типа нельзя определить как интегралы Римана-Стилтьеса или Лебега-Стилтьеса, так как реализация винеровского процесса имеет неограниченную вариацию на сколь угодно малых промежутках времени (последнее следует из гельдеровского свойства Леви винеровского процесса).

2.2. Перейдем к определениям.

Определение. Измеримая (по паре переменных ) функция  называется неупреждающей (по отношению к фильтрации ), если при каждом  t она -измерима.

Определение. Неупреждающая функция   называется функцией класса , если .

Определение. Неупреждающая функция  называется функцией класса  , если .

Замечание. Неупреждающие функции часто называют функциями, не зависящими от будущего.

2.3. Определение. Функция   называется простой, если для конечного разбиения  отрезка [0,T] существуют

Рекомендуемые материалы

 случайные величины  , где    -измерима, а  -измерима, , такие, что   где

Для простых функций  стохастический интеграл  определяем равенством

 

и, так как , то

      P- п. н.

Для стохастического интеграла от простой функции будем использовать также обозначение  .

Очевидно, что

,  

где

Отметим, теперь основные свойства стохастических интегралов от простых функций:

1)     P- п. н..

2)   P- п. н.  при

3) - P- п. н.  непрерывная по t функция,

4)   P- п. н.,

5)  P- п. н., где  простые функции.

Действительно, так как , то имеем

               (9)

Рассмотрим первую сумму правой части равенства (9), в силу свойства K^* условного математического ожидания (смотри §12 главы 1) и свойства iii) винеровского процесса, имеем

.

Поэтому, имеем

                                                                 (10)

Рассмотрим вторую сумму правой части (9). Воспользуемся опять свойством K^* условного математического ожидания и свойствами винеровского процесса, имеем учитывая, что

 

Здесь мы учли тот факт, является мартингалом относительно меры Р. Значит

.                                            (11)

Таким образом утверждение следует из равенств (9) – (11)

6) Если  для всех, то P-п.н. для любого.

7) Процесс  - прогрессивно измерим. Это утверждение следует из теоремы 1 главы 3 и, в частности,  -измерим при каждом  .

8) .

Действительно, из определения стохастического интеграла от простой функции имеем:

Заметим, что для любого j в силу -измеримости , имеем

Отсюда следует утверждение.

2.4. Определим стохастический интеграл для функции из класса .

Лемма 8. Пусть функция  . Тогда найдется последовательность простых функций  таких, что    при  .

Доказательство. Сначала сделаем несколько замечаний.

1) Без ограничения общности можно считать функцию  ограниченной, т.е.   P- п. н.  для . В противном случае можно перейти от  к функциям , где  

и использовать тот факт, что  при  .

2) Пусть . Если , то сразу можно считать, что функция - финитна по t.

3) Если функция  - непрерывна по t  P- п. н. почти наверно, то последовательность простых функций строится просто, например, можно положить  при . Тогда доказательство леммы следует из теоремы Лебега о мажорируемой сходимости.

4) Если функция  - прогрессивно измерима, то последовательность аппроксимирующих функций можно построить следующим образом. Пусть - интеграл Лебега. В силу прогрессивной измеримости  процесс , измерим и при каждом t случайные величины  - измеримы. Положим .

Случайный процесс ,  измерим, является неупреждающим  и имеет  P- п. н.  непрерывные траектории. Поэтому, согласно пункту 3), сделанных выше замечаний, существует последовательность неупреждающих ступенчатых функций  , такая, что  при . Заметим, что P- п. н. для почти всех    существует производная , причем в тех точках, где    существует P- п. н.  Поэтому для почти всех   (по мере   )    по теореме Лебега о мажорируемой сходимости, имеем   

при  .

5) Докажем теперь лемму в общем случае. Доопределим функцию  для отрицательных  , полагая   при . Пусть  -ограничена и финитна. Положим  .  Заметим, что функция    является при каждом фиксированном   простой. Лемма будет доказана, если показать, что можно выбрать точку  таким образом, что будет выполнено   при  .

Для этого воспользуемся следующим замечанием: если  , -измеримая, ограниченная функция, то   . Действительно, согласно пункту 4), для всякого  найдется почти всюду такая непрерывная функция  , что

                                                         (12).

Тогда в силу неравенства Минковского, имеем

.

Отсюда в силу произвольности  , следует (12). Из (12) вытекает также, что для

и, в частности,

,

Из последнего равенства следует, что существует такая подпоследовательность чисел  , что для почти всех   (по мере  )

 

Отсюда, переходя к новым переменным  , получим, что для почти всех   (по мере  )    при   и, значит, найдется такая точка  , что

Доказательство закончено.

2.3.1. Замечание. Доказательство леммы 8, приведенное выше, имеет ту ценность, что указывает способ построения простых функций   непосредственно по .

2.4. Итак, пусть . Тогда, в силу леммы 8, существует последовательность такая, что . Следовательно,

.

Таким образом, последовательность    фундаментальна в смысле сходимости в среднеквадратическом, т. е. . Значение этого предела, как нетрудно увидеть, не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности. Следовательно, определение стохастического интеграла корректно.

2.5. Свойства стохастических интегралов. Пусть .

1) , где

2)  Р-п. н., где , 

3)  Р-п. н. при.

4) -непрерывная функция t  Р-п. н..

5)   Р-п. н. при  .

6) .

7) Если   для всех   и  , то   Р-п. н. для ;

8) Процесс   - прогрессивно измерим и, в частности,  - измерим при каждом .

9) Процесс  - квадратично интегрируемый мартингал с непрерывными траекториями.

2.6. Для построения стохастических интегралов для неупреждающих функций из класса нам понадобятся 2 вспомогательные леммы.

2.6.1. Лемма 9. 1) Пусть .Тогда найдётся последовательность простых функций  такая, что по вероятности

.                                                    (13).

2) Cуществует последовательность простых функций , где  для, для которых (13) выполнено как в смысле сходимости по вероятности, так и с вероятностью единица.

Доказательство этой леммы основано на использовании леммы 8, неравенства Чебышёва и леммы Бореля-Кантелли. Из-за громоздкости доказательства  его не приводим.

2.6.2. Лемма 10. Пусть Œ и событие . Тогда  

,

в частности

.

Доказательство. Пусть , где

, .

Используя свойство 6) стохастических интегралов, имеем

.

В соответствии со свойствами стохастических интегралов справедливо включение

.

Поэтому для "AÎF_T, имеем

.

Воспользуемся неравенством Колмогорова (теорема 8 главы 3)

,

в силу которого имеем

Доказательство закончено.

2.6.3. Замечание. Утверждения лемм 8, 9, 10 остаются справедливыми, если в их формулировках момент Т заменить на марковский момент s, потребовав при этом, чтобы в них , соответственно.

2.7. С помощью лемм 9 и 10 легко сконструировать стохастический интеграл для неупреждающей функции из класса .

         Пусть , аппроксимирующие функцию  в смысле леммы 9. Тогда очевидно, что для любого

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - 5 Исследование функций и построение графиков.

Согласно лемме 10 для любых  и

Поэтому в силу произвольности получаем

.

Таким образом, последовательность случайных величин  сходится по вероятности к некоторой случайной величине, которую мы обозначим через  и назовём стохастическим интегралом от функции   по винеровскому процессу .

         В заключение заметим, легко показать, что значение  с точностью до множеств нулевой меры Р не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности.