Винеровский процесс и его свойства
§1 Винеровский процесс и его свойства.
1.1. Определение. Случайный процесс 
, определенный на стохастическом базисе 
со значениями в R1 называется винеровским процессом, если он обладает следующими свойствами:
i) 
P- п. н.
ii) для любого разбиения 
отрезка 
, 
приращения независимы в совокупности,
iii) случайные величины имеют нормальное распределение с параметрами: нулевое математическое ожидание и дисперсией 
, т.е. 
,
iv) траектории процесса 
- непрерывны.
Теорема 1. Винеровский процесс существует.
Доказательство теоремы опирается на два вспомогательных утверждения
Рекомендуемые материалы
1.1.1. Лемма 2. Пусть 
последовательность гауссовских случайных величин такая, что существует 
.Тогда X-гауссовская случайная величина.
Доказательство. Обозначим 
. Тогда, в силу свойства гауссовости последовательности 
, имеем 
Пусть любые 
,а 
, тогда имеем
Отсюда следует, что 
Поэтому 
Значит, 
, так как 
и 
, при 
т.е.
. Доказательство закончено.
1.1.2. Лемма 3. Пусть 
. Пусть 
, 
, причем 
. Тогда справедливо равенство 
.
Доказательство утверждения леммы следует из формулы интегрирования по частям.
1.1.3. Доказательство (теоремы 1) Пусть 
- пространство измеримых квадратично интегрируемых относительно меры Лебега функций, заданных на отрезке [0,1] со значениями в 
. Пусть 
- ортонормированное семейство функций в , т.е. 
, где 
- символ Кронекера. Обозначим 
. Пусть 
– счетное семейство независимых в совокупности стандартных нормальных случайных величин. Для доказательства теоремы достаточно доказать, что ряд 
P- п. н. cходится для любого t и обладает свойствами i)-iv).
Пусть 
. Очевидно, что:
1) 
;
2) 
, где
- скалярное произведение в
;
3)
;
4) 
, где 
- норма в .
Обозначим 
. Очевидно, что:
1) для любого 
- гауссовская случайная величина, причем для любых n;
(1)
Отсюда следует, что 
- квадратично интегрируем. Рассмотрим 
, причем без ограничения общности можно считать, что 
. В силу (1), имеем
Стало быть, справедлив критерий Коши. Поэтому 
в среднеквадратичном смысле сходится к некоторой 
, т.е. 
для любого 
, причем в силу леммы 2 случайная величина 
имеет гауссовское распределение.
Построенный процесс обладает свойствами.
1) ;
2) Траектории
- непрерывны.
Действительно, в силу леммы 3 имеем 
, отсюда в силу теоремы 2 главы 3 получаем утверждение.
3) 
(следует из леммы 2).
Осталось установить, что 
– процесс с независимыми приращениями. Для этого достаточно показать, что 
Действительно, 
Доказательство закончено.
1.1.4. Замечания. 1) Рассмотрим 
. Отсюда следует, что 
для любого и ограниченного n дифференцируем по t, т.е. P- п. н. существует 
, причем 
. Очевидно, что 
при 
для любого .
2) Из неравенства Коши-Буняковского следует, что 
.
1.2.Теорема 4. Обозначим 
. Тогда относительно меры Р 
винеровский процесс является мартингалом.
Доказательство. Нам надо проверить: 1) 
; 2) 
при 
. Заметим, что 1) следует из пункта 2) замечания 1.1.4. Осталось доказать, что 
, но в силу того, что 
имеет независимые приращения имеем 
.
Доказательство закончено.
1.2.1. Замечание. Очевидно, что является квадратично интегрируемым мартингалом относительно меры Р.
1.3. В дальнейшем нам понадобится одно свойство приращений винеровского процесса.
Теорема 5. Пусть 
и. Пусть 
разбиение отрезка [s,t] такое, что 
, когда .
Тогда 
.
Доказательство. Сначала заметим, что в силу теоремы 1.
.
Поэтому для доказательства теоремы достаточно показать, что
.
Действительно, в силу теоремы Фубини, имеем:
. (2)
Заметим, что в силу леммы 3
(3)
Значит, (2) с учетом (3) будет иметь вид:
Доказательство закончено.
1.1 Свойства винеровского процесса.
1) Пусть 
- винеровский процесс, не зависящий от . (Докажите самостоятельно).
2) Свойство автомодальности: для любого 
процесс 
, является винеровским процессом. Достаточно показать, что 
. Действительно 
.
3) 
для любого 
– винеровский процесс.
Достаточно показать, что 
. Действительно, 
.
4) P – п. н. 
.
Это утверждение следует из того, что 
и усиленного закона больших чисел.
5) Процесс 
является винеровским процессом,
6) 
Это равенство следует из леммы 3.
Неравенство Дуба. Для любого 
(4)
Доказательство. Пусть 
. Очевидно, что 
(докажите это неравенство самостоятельно). Заметим, что 
Поэтому 
(5)
Из равенства 
P – п. н. и неравенства Иенсена
получаем, что
Из (5) и приведенных неравенств следует неравенство Дуба.
8) Гёльдеровское свойство Леви
.
Доказательство этого утверждения проведем в два этапа: 1) сначала покажем, что P- п. н. 
, 2) установим неравенство
P– п. н.
1) Доказательство неравенства P – п. н. . Пусть 
и 
. Пусть имеется диадическое разбиение отрезка [0,t] точками 
. Тогда имеем
Обозначим 
. Значит, справедливо неравенство 
Так как 
Поэтому, в силу леммы Бореля-Кантелли, имеем при
2) Установим неравенство P – п. н. . Положим 
. Тогда имеем
Так как 
, то правая часть последнего неравенства является общим членом сходящегося ряда. Следовательно, в силу леммы Бореля-Кантелли получаем утверждение.
Замечание. Из гёльдеровского свойства Леви следует, что P- п. н.
траектории винеровского процесса удовлетворяют условию Гёльдера
,
где С – некоторая константа, а 
1.5. В данном пункте мы покажем, что 
–алгебра, порожденная винеровским процессом 
, обладает свойством непрерывности слева и справа.
Обозначим 
.
Определение. Будем говорить, что фильтрация 
непрерывна справа (слева), если 
Теорема 6.
Пусть на стохастическом базисе 
задан одномерный винеровский процесс 
. Пусть - фильтрация пополнена множествами нулевой меры Р. Тогда фильтрация 
непрерывна справа и слева, т.е. 
для любого . Доказательство. Установим сначала непрерывность слева, т.е. покажем, что 
. Очевидно, что 
. Поэтому нам надо доказать, что 
. Заметим сначала, что числа в силу непрерывности винеровского процесса, 
, где r - рациональные но тогда 
, т.е. 
.
Установим теперь непрерывность справа, т.е. 
. Очевидно, что 
. Поэтому надо доказать, что 
. Пусть 
. Тогда из определения винеровского процесса следует, что 
.
Отсюда ясно, что если 
, то 
. Следовательно 
, поэтому P- п. н.
(6)
Пусть 
. Тогда из (6) имеем P- п. н. 
Устремим 
, имеем P- п. н.
(7)
Сравнивая (6) и (7), видим, что 
. Отсюда вытекает, что для любой измеримой ограниченной функции f P- п. н. справедливо равенство
. (8)
Вместе с этой лекцией читают "7.1. Ценностная природа культуры".
Пусть теперь 
и 
- ограниченные измеримые функции. Тогда в силу марковского свойства винеровского процесса и (8) имеем P- п. н.
Аналогичным образом устанавливается равенство P- п. н. 
,
где 
и 
- любые измеримые ограниченные функции 
.Отсюда следует, что для любой 
-измеримой функции 
P- п. н. имеем 
. Беря в качестве 
измеримую величину, имеем 
P- п. н. Следовательно, 
- измерима. Значит,
. Доказательство закончено.
