Винеровский процесс и его свойства

§1 Винеровский процесс и его свойства.

1.1. Определение.  Случайный процесс , определенный на стохастическом базисе   со значениями в R¹ называется винеровским процессом, если он обладает следующими свойствами:

i)      P- п. н.

ii) для любого разбиения отрезка ,   приращения независимы в совокупности,

iii) случайные величины    имеют нормальное распределение с параметрами: нулевое математическое ожидание и дисперсией  , т.е. ,

iv) траектории процесса   - непрерывны.

Теорема 1. Винеровский процесс существует.

Доказательство  теоремы опирается на два вспомогательных утверждения

Рекомендуемые материалы

1.1.1. Лемма 2. Пусть   последовательность гауссовских случайных величин такая, что существует  .Тогда X-гауссовская случайная величина.

Доказательство. Обозначим . Тогда, в силу свойства гауссовости последовательности  , имеем     Пусть любые ,а  , тогда имеем

 

Отсюда следует, что  

Поэтому

Значит, , так как  и , при  т.е.

.  Доказательство закончено.

1.1.2. Лемма 3. Пусть . Пусть , , причем . Тогда справедливо равенство .

Доказательство утверждения леммы следует из формулы интегрирования по частям.

1.1.3. Доказательство (теоремы 1) Пусть - пространство измеримых квадратично интегрируемых относительно меры Лебега функций, заданных на отрезке [0,1] со значениями в . Пусть  - ортонормированное семейство функций в , т.е. , где - символ Кронекера. Обозначим . Пусть – счетное семейство независимых  в совокупности стандартных нормальных случайных величин. Для доказательства теоремы достаточно доказать, что ряд    P- п. н. cходится для любого t и обладает свойствами i)-iv).

Пусть   . Очевидно, что:

1) ;

2) , где- скалярное произведение в

;

3);

4) , где   - норма в  .

Обозначим  . Очевидно, что:

1) для любого - гауссовская случайная величина, причем для любых n;                 

    (1)

Отсюда следует, что  - квадратично интегрируем. Рассмотрим , причем без ограничения общности можно считать, что . В силу (1), имеем

Стало быть, справедлив критерий Коши. Поэтому  в среднеквадратичном смысле сходится к некоторой , т.е.  для любого , причем в силу леммы 2 случайная величина  имеет гауссовское распределение.

Построенный процесс обладает свойствами.

1) ;

2) Траектории- непрерывны.

Действительно, в силу леммы 3 имеем  , отсюда в силу теоремы 2 главы 3 получаем утверждение.

3)   (следует из леммы 2).

Осталось установить, что – процесс с независимыми приращениями. Для этого достаточно показать, что  Действительно, 

Доказательство закончено.

1.1.4. Замечания. 1) Рассмотрим . Отсюда следует, что  для любого  и ограниченного n  дифференцируем по t, т.е. P- п. н. существует , причем . Очевидно, что    при   для любого .

2) Из неравенства Коши-Буняковского следует, что .

1.2.Теорема 4. Обозначим . Тогда относительно меры Р  винеровский процесс является мартингалом.

Доказательство. Нам надо проверить: 1)  ; 2)   при . Заметим, что 1) следует из пункта 2) замечания 1.1.4. Осталось доказать, что  , но в силу того, что   имеет независимые приращения имеем .

Доказательство закончено.

1.2.1. Замечание. Очевидно, что    является квадратично интегрируемым мартингалом относительно меры Р.

1.3. В дальнейшем нам понадобится одно свойство приращений винеровского процесса.

Теорема 5. Пусть  и. Пусть   разбиение отрезка [s,t] такое, что , когда .

 Тогда   .

Доказательство. Сначала заметим, что в силу теоремы 1.

.

Поэтому для доказательства теоремы достаточно показать, что

  .

Действительно, в силу теоремы Фубини, имеем:

.                  (2)

Заметим, что в силу леммы 3

                (3)

Значит, (2) с учетом (3) будет иметь вид:

Доказательство закончено.

1.1  Свойства винеровского процесса.

1) Пусть   - винеровский процесс, не зависящий от . (Докажите самостоятельно).

2) Свойство автомодальности: для любого   процесс  , является винеровским процессом. Достаточно показать, что . Действительно .

3)   для любого  – винеровский процесс.

Достаточно показать, что . Действительно, .

4) P – п. н.   .

Это утверждение следует из того, что   и усиленного закона больших чисел.

5) Процесс   является винеровским процессом,

6) Это равенство следует из леммы 3.

Неравенство Дуба. Для любого

                                                                   (4)

Доказательство. Пусть . Очевидно, что    (докажите это неравенство самостоятельно). Заметим, что 

Поэтому                                                        (5)

Из равенства  P – п. н. и неравенства Иенсена

 получаем, что

Из (5) и приведенных неравенств следует неравенство Дуба.

8) Гёльдеровское свойство Леви

.

Доказательство этого утверждения проведем в два этапа: 1) сначала покажем, что P- п. н.  ,    2) установим неравенство

 P– п. н.

1) Доказательство неравенства     P – п. н. . Пусть  и . Пусть имеется диадическое разбиение отрезка  [0,t] точками . Тогда имеем

Обозначим  . Значит,  справедливо неравенство

Так как  Поэтому, в силу леммы Бореля-Кантелли, имеем при 

2) Установим неравенство     P – п. н. . Положим .  Тогда имеем

Так как , то правая часть последнего неравенства является общим членом сходящегося ряда. Следовательно, в силу леммы Бореля-Кантелли получаем утверждение.

Замечание. Из гёльдеровского свойства Леви следует, что  P- п. н. 

траектории винеровского процесса удовлетворяют условию Гёльдера

 ,

где С – некоторая константа, а    

1.5. В данном пункте мы покажем, что –алгебра, порожденная винеровским процессом    , обладает свойством непрерывности слева и справа.

Обозначим  .

Определение.  Будем говорить, что фильтрация  непрерывна справа (слева), если 

Теорема 6.Пусть на стохастическом базисе   задан одномерный винеровский процесс . Пусть  - фильтрация пополнена множествами нулевой меры Р. Тогда фильтрация   непрерывна справа и слева, т.е.   для любого . Доказательство. Установим сначала непрерывность слева, т.е. покажем, что . Очевидно, что .  Поэтому нам надо доказать, что  . Заметим сначала, что числа  в силу непрерывности винеровского процесса,  , где   r - рациональные но тогда ,  т.е. .

Установим теперь непрерывность справа, т.е. . Очевидно, что  . Поэтому надо доказать, что . Пусть  . Тогда из определения винеровского процесса следует, что .

Отсюда ясно, что если , то  . Следовательно , поэтому P- п. н.

                                                                  (6)

 Пусть   . Тогда из (6) имеем  P- п. н.               

Устремим  , имеем P- п. н.

(7)

Сравнивая (6) и (7), видим, что . Отсюда вытекает, что для любой измеримой ограниченной функции  f   P- п. н. справедливо равенство         

.                                                      (8)

Вместе с этой лекцией читают "7.1. Ценностная природа культуры".

Пусть теперь    и   - ограниченные измеримые функции. Тогда в силу марковского свойства винеровского процесса и (8) имеем  P- п. н.

Аналогичным образом устанавливается равенство P- п. н. ,

 где  и  - любые измеримые ограниченные функции .Отсюда следует, что для любой -измеримой функции  P- п. н. имеем . Беря в качестве  измеримую величину, имеем    P- п. н. Следовательно,  - измерима. Значит,. Доказательство закончено.