Исследование функций и построение графиков
Глава 5. Исследование функций и построение графиков.
§1. Возрастание и убывание функции. Экстремум.
y = f(x) возрастает (убывает ¯) на (a,b) , если x1 < x2 Þ f(x1) < f(x2) ( f(x1) > f(x2) )
Теорема 1. Если fÎC1(a,b), f/(х)>0 "xÎ(a,b), то f(x) возрастает на (a,b) (f/<0 Þ убывает)
Док-во. По теореме Лагранжа f(x2) – f(x1) = f(x0)(x2 – x1), x0Î(x1,x2)Ì (a,b)
Если $ окрестность Ud(x0) точки х0: "x¹x0, xÎ Ud(x0) f(x) > f(x0), то х0 – т. минимума
f(x) < f(x0), то х0 – т. максимума – экстремумы.
Необходимое условие экстремума. х0 – т. экстремума Þ f/(х0)=0 или не существует
Рекомендуемые материалы
Достаточное условие экстремума.
1. fÎC1(Ud(x0)). Если в (х0 - d, х0) и (х0, х0 + d) f/(х) имеет противоположные знаки, то х0 – т. экстремума, причем если меняется + на -, то максимум, если – на +, то минимум.
2. fÎC2(Ud(x0)).Если f/(х0)=0, f//(х0)<0, то х0 – т. максимума, если f/(х0)=0, f//(х0)>0, то х0 – т. минимума
Стационарная точка. Критическая точка.
Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются или в критических точках или на концах отрезка.
§2. Направление выпуклости. Точки перегиба.
График y = f(x) наз. выпуклым вниз (вогнутым вверх) на (a,b), если дуга кривой выше касательной "хÎ(a,b) (например, у = х2)
Теорема 2. Если fÎC2(a,b), f//(х)>0 "xÎ(a,b), то график f(x) является выпуклым вниз на (a,b)
f//(х) <0 "xÎ(a,b), то график f(x) является выпуклым вверх на (a,b)
Точка перегиба.
Необходимое условие перегиба. х0 – т. перегиба Þ f//(х0)=0 или не существует
Достаточное условие перегиба.
fÎC2(Ud(x0)). Если в (х0 - d, х0) и (х0, х0 + d) f//(х) имеет противоположные знаки, то х0 – т. перегиба.
§3. Асимптоты.
Для y = f(x) $ прямая, расстояние от т. М( x,f(x) ) до этой прямой ® 0 при бесконечном удалении т.М от начала координат – асимптота графика.
а) Если при этом x® a ¹ ¥ , то полупрямая х = а (y > 0 или y < 0) – вертикальная асимптота.
б) Если при этом x® +¥ или x® -¥, то график имеет наклонную асимптоту.
Свойства. 1. $ вертикальная асимптота Û хотя бы один из 
.
2. Непрерывные на всей оси функции не имеют вертикальных асимптот.
3. $ наклонная асимптота y = kx + b Û $ 2 предела: 
и 
. (пределы могут быть различны при х®+¥ и при х®-¥). При k = 0 асимптота горизонтальная.
§4. Общий порядок построения графика.
1. Область определения
2. Симметрия (в случае симметричной О.О.)
Периодичность
Нули (корни) – точки пересечения с осью Ох, точка пересечения с осью Оу.
Промежутки знакопостоянства (где график выше оси, где ниже).
Поведение вблизи точек разрыва (устранимые, 1-го и 2-го рода).
Поведение на бесконечностях (наклонные или горизонтальные асимптоты)
3. Затем, с помощью 1-й производной – интервалы монотонности и точки экстремума.
С помощью 2-й производной – интервалы выпуклости и точки перегиба.
§5. Численное решение уравнений. Метод Ньютона.
Корень x0Î(a,b) уравнения f(x)= 0 изолирован на [a,b] , если на этом отрезке не содержится других корней этого уравнения. [a,b] – отрезок изоляции корня.
Пусть на отрезке [a,b] изоляции корня уравнения f(x)= 0 выполняются условия
а) f(x), f/(x), f//(x)ÎC[a,b],
б) f(a).f(b)<0,
в) f/(x), f//(x) не меняют своего знака.
Информация в лекции "9 Союз трех императоров" поможет Вам.
Метод хорд. Определим числа xn равенствами
(n=1,2,3,…) Þ xn® x0 (n®¥), x0 – корень.
Метод касательных (Ньютона). Определим числа xn равенствами
(n=1,2,3,…) Þ xn® x0 (n®¥), x0 – корень.
f(x) = x3 + 2x – 2. f(0) = -2, f(1) = 1 Þ отрезок изоляции корня [0,1]. f/(x) > 0, f//(x) > 0 на (0,1)Þ x0 = 1, 
, x1 = 0,8; x2 = 0,7714; x3 = 0,7709, x4 = 0,770917
Метод Ньютона сходится быстрее, чем метод хорд.
