Простейшие системы массового обслуживания с обратной связью

§3. Простейшие системы массового обслуживания с обратной связью.

3.1. В данном пункте мы дадим описание простейшей системы массового обслуживания с обратной связью.

         Пусть на стохастическом базисе  заданы два точечных процесса , с - измеримыми интенсивностями , соответственно, кроме того, на нем задана последовательность бернулли-евских случайных величин , принимающая значения {0,1}, причем . Предположим, что  - последовательность марковских моментов, которые нагружают точечный процесс . Обозначим   опциональный случайный процесс с кусочно-постоянными траекториями:

  

Осуществим прореживание точечного процесса  с помощью последовательности :

                  

Как и в §1, введем процессы   .

Очевидно, что Р – п. н. для любого . Теперь определим простой процесс обслуживания и назовем его процессом обслуживания для системы с обратной связью. Ясно, что:

Рекомендуемые материалы

Обозначим

        

и назовем его процессом (потоком) обратной связи.

Через  обозначим процесс:

                                                    (20)

Положим . Очевидно, что из приведенных построений следует, что

                                                                                (21)

для любого момента времени t и

                                                   ,                                    (22)

где  - выходной поток.

3.2. Комментарий. Выше приведенное построение процесса  имеет простую интерпретацию: на вход системы массового обслуживания (СМО) поступает поток заявок. Затем, поток обслуженных заявок  прореживается последовательностью  по следующему правилу: если , то она поступает на вход системы массового обслуживания в накопитель необслуженных заявок, т.е. должна быть обслужена снова, последнее означает, что обслуживание произведено некачественно (брак); если , то заявка обслужена качественно (не брак) и она покидает систему массового обслуживания. Ниже на рис. 2 приведена структурная схема СМО с обратной связью.

Рис. 2.

3.3. Для описанных выше систем массового обслуживания справедливы следующие утверждения.

Теорема 12. Пусть  – простой процесс обслуживания с обратной связью. Тогда для любого  Р - п. н. допускает представление:

1) , где и  определяются (20) и (21), соответственно;

2)                                                                       (23)

Теорема 13. Уравнение (23) имеет единственное решение для любого       

.               

Доказательство утверждений теорем 12, 13 проводится аналогично доказательству теорем 10, 11 §2, поэтому их не приводим.

3.4. Выведем теперь уравнение, описывающее эволюцию распределения вероятности длины очереди, т.е. .

Теорема 14. Пусть точечные процессы и не имеют общих скачков и имеют F – интенсивности , соответственно.

Пусть – процесс обслуживания с обратной связью, описываемый (23), причем  – последовательность бернуллиевских случайных величин с , не зависящая от , i=1,2. Пусть .

Тогда  удовлетворяет уравнению:

  (24)

Доказательство теоремы опирается на утверждение.

3.4.1. Лемма 15. Пусть выполнены условия теоремы 14. Компенсаторы процессов , , ,  относительно потока  и меры P имеют для  вид, соответственно:

 .

Доказательство. Достаточно найти компенсатор для потока обратной связи . Пусть  - предсказуемый ограниченный процесс. Очевидно, что определен интеграл Римана-Стилтьеса и существует  . Так как – последовательность бернуллиевских случайных величин, то ясно, что

Отсюда следует утверждение леммы.

3.4.2. Доказательство теоремы 14 почти дословно повторяет доказательство теоремы 10, поэтому его не приводим.

3.5. Возникает вопрос о том, можно ли предложить некоторую методику, позволяющую строить решение уравнения (17) ((24)). Такая методика существует для случая, когда коэффициенты уравнения (17) не зависят от  n и t, т.е. и основана на использовании производящих функций распределения . Напомним, производящая функция для распределения вероятностей  определяется выражением:

                                      ,

где . Умножим левую и правую части (17) на , а затем выполним суммирование по n от нуля до бесконечности. В результате получаем уравнение в частных производных первого порядка с переменными коэффициентами

                                     (25)

Произведем теперь преобразование Лапласа [ ] уравнения (25). Так как,

, то в результате получим из (25)

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - 2.3 Различия между культурой и цивилизацией.

                            ,

где   , и .

Затем, беря обратное преобразование Лапласа относительно , легко, с учетом сделанных предположений, получить, что  для любых t, n, i имеет вид:

,

где  - обобщенная функция Бесселя первого рода [15]        ,        Г(l)- гамма функция [15].

В общем случае неясно как строить решение уравнения (17). Поэтому возникает проблема разработки асимптотических методов анализа систем массового обслуживания.