Описание простейшей системы массового обслуживания
§2. Описание простейшей системы массового обслуживания.
2.1. Пусть на стохастическом базисе 
заданы 2 точечных процесса 
, i=1,2, и неотрицательная, интегрируемая, 
- измеримая случайная величина 
.
Определение. Точечный процесс 
будем называть входным потоком.
Определение. Случайную величину 
- измеримую будем называть внутренним состоянием или начальной очередью.
Определение. Пусть 
, а 
. Процесс 
назовём простым процессом обслуживания или очередью.
2.2. Теорема 7. Пусть 
– простой процесс обслуживания. Тогда он допускает представление P –п. н.
. (4)
Доказательство. Момент времени 
является моментом скачка вниз процесса 
если и только если выполняются условия: а) 
,
Рекомендуемые материалы
б) 
. Поэтому 
- п. н.
. (5)
Так как 
, то из (5) следует, что P - п. н.
. (6)
Из (6) следует, что P - п. н.
. (7)
Очевидно, что 
P - п. н. для любого 
, поэтому 
P - п. н. для любого . Из определения процесса следует, что для любого P - п. н., в силу (7),
Отсюда следует утверждение теоремы.
2.3. Из теоремы 7 вытекает определение.
Определение. Точечный процесс 
, определяемый равенством 
, называется выходным потоком.
2.4. Установим условия, при которых уравнение (4) разрешимо. Для этих целей нам понадобится ряд определений. Без ограничения общности можно считать, что 
.
Определение. Будем говорить, что (4) имеет сильное решение, если для любого 
- измеримо, Р - п. н. 
и обращает (4) в тождество.
Определение. Пусть 
– два решения уравнения (4), причём 
. Будем говорить, что (4) имеет единственное сильное решение, если 
Р - п. н., где 
.
Теорема 8.Уравнение (4) имеет единственное решение.
Доказательство. Из уравнения (4) следует, что для любого Р - п. н.
.
Отсюда следует, что 
Р - п. н. для любого 
.
Заметим, что если решение уравнения (4) существует, то оно имеет кусочно-постоянную траекторию. Поэтому доказательство того факта,
что - измеримо проведём по индукции. Пусть 
- измеримо. Покажем, что 
- измеримо, где 
и 
– марковские моменты, которые нагружают простой процесс обслуживания. Из (4) следует, что при 
Р - п. н. Поэтому при 
Р - п. н. 
.
Из последнего равенства следует, что - измеримо. Таким образом, основной шаг индукции обоснован, а вместе с ним установлено существование решения уравнения (4).
Перейдём теперь к доказательству единственности решения (4). Его мы также проведём по индукции. Пусть – два решения уравнения (4), причём . Так как 
имеет кусочно-постоянные траектории, то Р - п. н. для 
. (8)
Рассмотрим разность 
. Пусть 
Р - п. н. Покажем, что 
Р - п. н. Из (8) следует, что Р - п. н. 
.
Отсюда следует, что основной шаг индукции доказан, а вместе с ним и утверждение теоремы.
2.5. Комментарии. 1) Из выведенного нами уравнения (4) для простого процесса обслуживания следует описание функционирования системы массового обслуживания (однолинейной). Представим себе, что имеется некоторый поток заявок 
, поступающий на вход системы, которая представляет собой накопитель заявок и прибор, обслуживающий эти заявки. При этом полагаем, что: а) если прибор обслуживает некоторую заявку, то из накопителя заявки не могут поступить на обслуживающий их прибор; б) если заявка обслужилась прибором, то в прибор поступает следующая заявка и т.д.; в) время, в течение которого заявка обслуживается, определяется как 
, где 
– последовательность марковских моментов, которая погружает точечный процесс 
, г) после того, как заявка обслужилась, она покидает систему. На рисунке 1 приведена структурная схема системы массового обслуживания
Рис. 1.
(
- накопитель, 
- начальная очередь).
2) Основными задачами теории массового обслуживания являются:
а) математическое описание процессов обслуживания , который указывает, какое количество заявок находится в данный момент времени в системе, т.е. какова длина очереди; б) нахождение распределения вероятностей длины очереди в системе массового обслуживания и ряда других функционалов, заданных траекториях процесса обслуживания.
2.6. Выведем теперь уравнения, описывающие эволюцию во времени распределения вероятностей длины очереди.
Теорема 9. Пусть для любого 
Р - п. н. Пусть 
и 
измеримы интенсивности точечных процессов 
и 
, а 
,
. Тогда для любого 
(9)
Доказательство. Рассмотрим 
. В силу условий теоремы, имеем
(10)
Заметим теперь, что:
i) 
. (11)
ii) 
(12)
Поэтому (10) с учетом (11) и (12) можно переписать в виде:
(13)
Возьмем математическое ожидание относительно левой и правой частей равенства (13). Учитывая, что:
i) 
,
ii) 
,
Имеем 
.
В силу теоремы Фубини и того, что мера Лебега одноточечных множеств равна нулю, последнее равенство можно переписать в виде:
(14)
Заметим теперь, что для любого 
имеем:
i) 
(15)
,
ii) 
. (16)
Поэтому (14) с учетом (15), (16) будет иметь вид (9). Доказательство закончено.
2.7. Следствие 10. Пусть выполнены условия теоремы 9. Тогда для любых 
и почти всех t существует производная 
и 
, удовлетворяет уравнению Колмогорова:
(17)
Доказательство. Из доказательства теоремы 9 следует, что для любого 
абсолютно непрерывнa относительно меры Лебега. Отсюда, в силу теоремы Радона – Никодима, существует плотность для почти всех t. Отсюда следует утверждение следствия.
2.8. Приведем теперь условия, выполнение которых обеспечивает разре-шимость бесконечной системы уравнений (17).
Теорема 11. Пусть выполняются условия:
i) 
для любого n и t;
ii) 
.
Тогда в классе 
существует единственное решение уравнения (9).
55 Абсолютная и условная сходимость рядов - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.
Доказательство. Отметим, что если выполнены условия i),ii), то выполнены условия теоремы 30 главы 3. Поэтому разрешимость этого уравнения следует из теоремы 30 главы 3.
Замечания. 1) Процесс со значениями в 
, эволюция распределения вероятностей которого описывается уравнением (9), называют обычно процессом гибели-размножения, если 
не зависят от 
для любого 
.
2) Из доказательства теоремы 11 следует, что бесконечная система уравнений (17) является частным случаем системы уравнений Колмогорова, соответствующей марковским процессам с конечным или счетным числом состояний.
3) Систему уравнений (17) можно переписать в другом виде:
(18)
которая с точки зрения теории дифференциальных уравнений представляет собой бесконечную систему дифференциально-разностных уравнений с граничным условием (18), решение которого допускает вероятностную интерпретацию: 
.
