Абсолютная и условная сходимость рядов

Абсолютная и условная сходимость рядов.

            Рассмотрим некоторый знакопеременный ряд (с членами произвольных знаков).

                                                                                                    (1)

и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):

                                                                                                (2)

            Теорема. Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).

            Доказательство. Ряд (2) является рядом с неотрицательными членами. Если ряд (2) сходится, то по критерию Коши для любого e>0 существует число N, такое, что при n>N и любом целом p>0 верно неравенство:

            По свойству абсолютных величин:

1 Культурология и её проблематика - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.

То есть по критерию Коши из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).

            Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд .

            Очевидно, что для знакопостоянных рядов понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают.

            Определение. Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а  ряд  расходится.