Две предельные теоремы теории очередей

§4. Две предельные теоремы теории очередей.

4.1. В данном пункте установим условия существования стационарного решения уравнения (17).

Определение. Пусть  – решение уравнения (17), если для  существует , обозначаемый , то его мы будем называть стационарным решением уравнения (17).

Для удобства формулировки следующего утверждения приведем условия (R):

1)  для ;

2)  (попутно заметим, отношение  называют коэффициентом нагрузки).

Обозначим .

Теорема 16. Пусть выполнены условия (R) и .

Тогда решение уравнения (17) имеет вид  для .

Рекомендуемые материалы

Доказательство. Рассмотрим пространство  последовательностей , в нем введем норму:

.

Относительно этой нормы пространство последовательностей становится банаховым, которое мы обозначим через B. Очевидно, что ,  (для любого t). Заметим, что любой ,  в силу условий (R), справедливо равенство

                                                   .                                   (26)

Перепишем уравнение (17) в интегральной форме

.              (27)

(27) с  учетом (26) можно представить в виде

Отсюда следует, что справедливо неравенство

.

Поэтому, в силу леммы Гронуолла – Беллмана, из последнего неравенства следует, что , т.е.  – решение уравнения (17). Доказательство закончено.                       

Информация в лекции "14 Культура Западно-Европейского Средневековья" поможет Вам.

3. Из теоремы 16 вытекает важное утверждение.

Теорема 17. Пусть выполнены условия теоремы 16. Тогда выходной поток     является пуассоновским с интенсивностью .

Доказательство. Достаточно показать, что . Действительно, так как .

Отсюда, в силу свойства стохастических интегралов по мартингалу, имеющему ограниченную вариацию (теорема 23 главы 3), и теоремы Фубини, имеем

.

В силу условий теоремы для , поэтому . Стало быть, . Доказательство закончено.