Интегрирование случайных процессов по мартингалам, имеющим ограниченную вариацию
§7 Интегрирование случайных процессов по мартингалам, имеющим ограниченную вариацию.
7.1. Пусть 
- мартингал, имеющий интегрируемую вариацию. Пусть 
- ограниченный предсказуемый случайный процесс. Тогда определен P- п. н. интеграл Римана - Стилтьеса от предсказуемой функции h по мартингалу m: 
, где 
- разбиение отрезка 
, такое, что 
при 
. Из этого построения следует, что 
- измерим.
Теорема 29. Пусть - ограниченный предсказуемый процесс, а - - мартингал имеющий ограниченную интегрируемую вариацию, т. е. МVar 
. Тогда определён интеграла Римана - Стилтьеса 
, являющийся: а) при каждом t 
- измеримой случайной величиной; б) мартингалом относительно потока 
и меры Р.
Доказательство. Утверждение а) теоремы очевидно. Установим б). Надо показать, что при 
P - п. н. Очевидно, что это равенство эквивалентно следующему 
. Действительно, пусть - разбиение отрезка (t, t], тогда имеем 
.
По теореме Лебега о можарируемой сходимости, имеем, в силу свойств условного математического ожидания, P - п. н.
Последнее равенство следует из того факта, что P - п. н. 
.
Доказательство закончено.
7.3. Приведем ряд утверждений вытекающих из теоремы 29.
Рекомендуемые материалы
Теорема 30 (Кэмбелл). Пусть 
- считывающий процесс, а 
его компенсатор относительно меры Р. Пусть - ограниченный предсказуемый процесс. Тогда 
.
Доказательство. Нам надо установить равенство
(5)
Рекомендуем посмотреть лекцию "15 Русская культура в XVIII в.".
Заметим, что 
- мартингал, имеющий интегрируемую вариацию, поэтому (5) следует из теоремы 29.
Пример. Пусть 
пуассоновский процесс с интенсивностью 
. Найдём его характеристическую функцию. Заметим, сначала, что 
- мартингал относительно меры P. К функции 
применим формулу Ито (4), имеем
(6)
Возьмём математическое ожидание относительно левой и правой частей (6), учитывая (5), имеем 
. Заметим теперь, что 
. В силу теоремы Фубини имеем: 
. Отсюда следует, что 
.
Задача. Пусть - точечный процесс, компенсатор которого имеет вид 
, 
- интенсивность 
- измеримая. Такой точечный процесс называется процессом Кокса. Докажите, что 
P – п. н. для 
.
