Свойства компенсаторов точечных процессов. Случайная замена времени
§8 Свойства компенсаторов точечных процессов. Случайная замена времени.
8.1. Теорема 31. Справедливы утверждения.
1) Компенсатор 
точечного процесса 
допускает единственное разложение 
, где 
- непрерывная составляющая, 
- разрывная составляющая.
2)
Р - п. н.
3)
P – п. н. для любого t.
Доказательство. 1) Первое утверждение теоремы следует из теоремы 24.
2) Так как
, то 
. Заметим, что
- измерим, поэтому
. Так как
, то 
Р - п. н.
3) Сначала заметим, что Р – п. н.
Рекомендуемые материалы
.
Люди также интересуются этой лекцией: 5.5 Греческая литература.
Так как
является мартингалом, a 
- предсказуемый возрастающий процесс. Поэтому из теоремы Дуба - Мейера следует третье утверждение. Теорема доказана.
8.2. Пусть - точечный процесс, а 
- его компенсатор, где 
- измеримая функция.
Теорема 32. Пусть Р - п. н. 
. Пусть существует функция
, обозначаемая через 
, такая, что
. Тогда 
- стандартный пуассоновский процесс (т. е. интенсивность его равна единице).
Доказательство. Сначала покажем, что процесс 
имеет компенсатор t, т. е. 
- мартингал относительно потока 
и меры Р. Пусть 
- ограниченный предсказуемый процесс, тогда имеем, в силу теоремы 30, 
.
Покажем теперь, что 
. Очевидно, что 
- точечный процесс, поэтому 
. Отсюда следует, что 
. Значит 
. Доказательство закончено.
