Мультивариантные точечные процессы

§9 Мультивариантные точечные процессы.

9.1. Определение. Мультивариантным точечным процессом на  называется последовательность , где - марковские моменты такие, что: а); б) на множестве ;  в)  на множестве ; а  на множестве  и  на множестве где  - некоторая "фиктивная" точка, причём  для .

По мультивариантному точечному процессу  легко построить опциональный случайный процесс  с кусочно-постоянными траекториями. Действительно, для любого n положим

Очевидно, что таким образом построенный случайный процесс  является согласованным и его траектории непрерывны справа и имеют конечный левый предел, т. е. принадлежат пространству Скорохода.

Обозначим  - число попаданий мультивариантного точечного процесса в множество  за время t. Очевидно, что считающий процесс, поэтому - субмартингал (относительно меры Р). Стало быть, по теореме Дуба-Мейера существует единственный предсказуемый возрастающий процесс такой, что мартингал, т. е. - компенсатор.

Определение.   Пусть Е - конечное или счётное множество, причем, в этом случае мультивариантный точечный процесс будем называть k-вариантным.

9.3. Пусть , где  опциональный процесс построенный по мультивариантному точечному процессу с кусочно-постоянными со значениями в Е, где Е - конечное или счетное множество. Через обозначим элементы множества Е и назовем их состояниями. Пусть - одноточечное множество, т.е. . Через  обозначим число попаданий процесса за время t в состояние i. Очевидно, что: 1) , 2) , где марковские моменты такие, что . Справедливо утверждение.

Рекомендуемые материалы

Предложение 33. Пусть - считающий процесс. Тогда для любых  и   Р - п. н. справедливы представления:

1)если , то

,

где ,

2)

Рекомендация для Вас - 1.4 Приложения (периодизация).

Доказательство. 1) Так как , то, очевидно, что P – п. н. для любых , 

.

Получившееся равенство перепишем в виде интеграла Римана-Стилтьеса, имеем P – п. н. .

Отсюда следует первое утверждение предложения.

2) Так как марковские моменты  нагружают процесс , то   P – п. н. для любого . Поэтому  P – п. н. для любого . Следовательно, P – п. н. для любых , , имеем

Последнее равенство перепишем в виде интеграла Римана – Стилтьеса, имеем P – п. н. . Доказательство закончено.