Полумартингалы
§2 Полумартингалы.
2.1. Определение. Будем говорить, что процесс 
-мартингал, если выполняются условия: 1) 
, 2) 
Р - п. н., 
и 
.
Будем говорить, что - супермартингал, если: 1) , 2) 
Р - п. н. для и .
Процесс субмартингал, если: 1) , 2) 
Р - п. н. для и .
Множество случайных процессов, являющихся "суб", "супер", или просто мартингалами называется полумартингалами. Множество полумартингалов обозначим через 
.
Пример. Рассмотрим пуассоновский процесс 
. Из его определения следует, что 
для . Поэтому 
. Следовательно, пуассоновский процесс - субмартингал.
Ниже мы покажем, что если 
, то он допускает представление 
где 
- процесс имеющий ограниченную вариацию, а 
- мартингал.
2.2. Определение. Случайный процесс 
называется предсказуемым, если его траектории непрерывны слева, имеют предел справа и не имеют разрывов второго рода.
Рекомендуемые материалы
Теорема 5 (Дуба - Мейера). Пусть 
- субмартингал относительно меры Р. Тогда существует единственный предсказуемый возрастающий процесс 
такой, что для любого 
Р - п. н.
где - мартингал.
(Без доказательства.)
Замечание. Если 
- супермартингал, то 
- субмартингал. Следовательно 
значит 
из 
где 
.
Пример. Пусть 
- пуассоновский процесс, тогда 
Р - п. н. для 
, где - мартингал относительно меры Р.
2.3. Определение. Мартингал 
относительно меры Р называется регулярным, если существует 
-измеримая случайная величина 
, такая, что 
Р - п. н. 
для .
2.3.1. Замечание. Очевидно, что регулярность мартингала относительно меры Р эквивалентна требованию равномерной интегрируемости семейства .
2.3.2. Теорема 6. Пусть регулярный мартингал относительно меры Р, а семейство 
непрерывно справа. Тогда у процесса существует модификация 
с траекториями непрерывными справа и имеющими левый предел.
Доказательство. Так как - регулярный мартингал, существует - измеримая интегрируемая случайная величина такая, что . Тогда для каждого имеем Р - п. н.
.
Поэтому, если положить 
, то получим непрерывную справа модификацию.
Покажем теперь, что существует левый предел. Действительно, если бы с положительной вероятностью этот предел не существовал, то тогда среднее число пересечений отрезка 
снизу вверх за время 
обозначаемое через 
было бы равно 
, но 
. Указанное противоречие довершает доказательство теоремы.
2.4. Приведем теперь условия существования непрерывной справа модификации у супермартингала.
Теорема 7. Пусть - непрерывно справа, а супермартингал относительно меры Р. Супермартингал имеет непрерывную справа модификацию тогда и только тогда, когда функция времени 
непрерывна справа.
Доказательство. В силу условий теоремы 
Р - п. н., а из того, что 
, имеем 
Р - п. н. для .
Отметим 
Р - п. н. тогда и только тогда, когда 
.
Пусть 
. Так как 
равномерно интегрируемо, то 
. Стало быть, Р - п. н. тогда и только тогда, когда 
. Поскольку 
как функция 
убывает, то это равносильно ее непрерывности справа в точке .
Пусть 
- непрерывная справа модификация супермартингала . Тогда 
для каждого (как функция времени, в силу приведенных выше рассуждений) непрерывна справа. Обратно, если функция времени непрерывна справа, то процесс 
представляет собой непрерывную справа модификацию. Доказательство закончено.
2.5. В дальнейшем нам понадобится неравенство Колмогорова для квадратично интегрируемых мартингалов.
Определение. Мартингал относительно меры Р назовем квадратично интегрируемым, если 
.
Теорема 8 (неравенство Колмогорова). Пусть – квадратично интегрируемый мартингал. Тогда для любого 
.
Доказательство. Пусть 
, где 
. Очевидно, что 
и 
- марковские моменты, причем 
Р - п. н. Поэтому 
. Заметим теперь, что 
.
Поэтому в силу неравенства Чебышева, имеем 
.
Доказательство закончено.
2.6. Далее нам понадобится одно неравенство для квадратично интегрируемых мартингалов.
Теорема 9. Пусть 
квадратично интегрируемый мартингал относительно меры Р. Тогда
(3)
Доказательство. В силу теоремы 8 для 
, имеем
Поэтому
Вместе с этой лекцией читают "Примеры линейных пространств".
Отсюда в силу неравенства Коши - Буняковского, имеем
Стало быть 
отсюда следует утверждение теоремы.
