Абсолютная непрерывность вероятностных мер, соответствующих скачкообразным процессам
§15 Абсолютная непрерывность вероятностных мер, соответствующих скачкообразным процессам.
15.1. Определение. Пусть на измеримом пространстве заданы две вероятностные меры , i = 1,2. Будем говорить, что мера абсолютно непрерывна относительно меры и обозначать , если из того, что следует, что .
Из этого определения следует: если , то
. Очевидно, что достаточным условием является следующее: для .
Из теоремы Радона - Никодима следует, что если , то существует F - измеримая функция такая, что , которую называют производной Радона - Никодима и обозначают.
Везде ниже интеграл по мере будем обозначать через .
Пусть имеется измеримое пространство с фильтрацией , на котором заданы две вероятностные меры , i = 1,2. Через обозначим сужение меры на , т. е. . Пусть , тогда существует в силу теоремы Радона – Никодима - процесс называемый локальной плотностью .
Теорема 48. Пусть - локальная плотность. Тогда неотрицательный мартингал относительно меры , причем для .
Рекомендуемые материалы
Доказательство. Пусть и . В силу условий теоремы поэтому . Так как , то . Значит
.
Отсюда в силу произвольности получаем, что - п. н. Для завершения доказательства осталось заметить, что при для .
15.3. Рассмотрим опциональный случайный процесс , опреде-ленный на стохастическом базисе со значениями в и для Р - п. н. допускающий представление
, (17)
где опциональный случайный процесс с кусочно-постоянными траекториями и неслучайной матрицей интенсивности перехода , причем ; : - предсказуемая случайная функция такая, что
Р - п. н. для .
Сначала заметим, что - предсказуемый процесс, так как
- опциональный. Из свойств интегралов, стоящих в правой части (17) следует
. (18)
Пусть - последовательность марковских моментов, исчерпывающая скачки процесса , ясно, что: а) ; б) на множестве ; в) . Тогда последнее равенство (18) можно записать в виде
. (18а)
Отсюда следует, что в момент времени происходит скачек у процесса и его величина вычисляется по формуле . Поэтому Р - п. н.
. (19)
Пусть , из (18) следует, что Р - п. н.
.
Очевидно, что
.
Далее в силу (18), имеем
.
Заметим, что
.
Поэтому
×
.
Продолжая этот процесс далее, получаем, что P – п.н.
,(20)
который является решением этого уравнения.
Легко показать, что
1) если выполняются условия:
а) Р - п. н. , б) для Р - п. н.,
в) для Р- п. н.;
2) если выполняются условия:
а) Р - п. н. , б) для Р -п. н., в) для
Р - п. н. ;
3) если выполняются условия:
а) Р - п. н., б) для Р - п. н.,
в) для Р - п. н. .
Таким образом, доказано утверждение.
Теорема 49. Пусть выполнены условия 1) , 3). Тогда уравнение (17) имеет единственное положительное решение, которое имеет вид (19), причем если выполнено условие 2), то Р - п. н. для . Кроме того, если , то для и и является равномерно интегрируемым мартингалом (относительно меры Р).
Замечание. Из теоремы 49 следует, что с помощью процесса можно определить вероятностную меру , где . Очевидно, , а - производная Радона – Никодима меры Q относительно меры P.
15.4. Теорема 50 (Гирсанов). Пусть опциональный случайный процесс с конечным или счетным множеством состояний Е и матрицей интенсивности перехода . Пусть удовлетворяет условиями 1)-3) теоремы 44. Тогда относительно меры , где процесс - опциональный с конечным или счетным числом состояний и матрицей интенсивности перехода .
Доказательство. Пусть - целочисленная случайная мера, построенная по скачкам процесса . Из условий теоремы следует, что ее компенсатор относительно меры P имеет вид , т. е. является мартингалом относительно меры Р. Нам надо показать, что относительно меры Q процесс - мартингал относительно потока , т. е. Q - п. н. . Последнее равенство выполнено тогда и только тогда, когда для . Из определения меры Q следует
.
Из свойств условного математического ожидания, в силу того, что
- измеримо, имеем
.
Учитывая, что - равномерно интегрируемый мартингал относительно меры Р, имеем
.
Применим теперь формулу Ито для произведения мартингалов
, имеем P - п. н.
.
Рассмотрим . Очевидно, что
, .
Поэтому
.
Значит
.
Ещё посмотрите лекцию "9 Оператор присваивания" по этой теме.
Таким образом, имеем
. (21)
Заметим, что второе и третье слагаемые правой части (21) являются стохастическими интегралами по мартингалам, имеющим ограниченную вариацию. Поэтому они являются мартингалами относительно меры Р, имеем
.
Доказательство закончено.