Абсолютная непрерывность вероятностных мер, соответствующих скачкообразным процессам

§15 Абсолютная непрерывность вероятностных мер, соответствующих скачкообразным процессам.

15.1. Определение. Пусть на измеримом пространстве  заданы две вероятностные меры , i = 1,2. Будем говорить, что мера  абсолютно непрерывна относительно меры  и обозначать , если из того, что  следует, что .

Из этого определения следует: если , то

. Очевидно, что достаточным условием  является следующее:  для .

Из теоремы Радона - Никодима следует, что если , то существует F - измеримая функция  такая, что , которую называют производной Радона - Никодима и обозначают.

Везде ниже интеграл по мере  будем обозначать через .

Пусть имеется измеримое пространство  с фильтрацией , на котором заданы две вероятностные меры , i = 1,2. Через  обозначим сужение меры  на , т. е. . Пусть , тогда существует в силу теоремы Радона – Никодима   - процесс  называемый локальной плотностью .

Теорема 48. Пусть - локальная плотность. Тогда  неотрицательный мартингал относительно меры , причем  для .

Рекомендуемые материалы

Доказательство. Пусть  и . В силу условий теоремы   поэтому . Так как , то  . Значит

.

Отсюда в силу произвольности  получаем, что   - п. н. Для завершения доказательства осталось заметить, что при   для .

15.3. Рассмотрим опциональный случайный процесс , опреде-ленный на стохастическом базисе  со значениями в  и для  Р - п. н. допускающий представление

,      (17)

где  опциональный случайный процесс с кусочно-постоянными траекториями и неслучайной  матрицей интенсивности перехода , причем ; :  - предсказуемая случайная функция такая, что

Р - п. н.  для .

Сначала заметим, что  - предсказуемый процесс, так как

 - опциональный. Из свойств интегралов, стоящих в правой части (17) следует

 

  

                             .              (18)

Пусть - последовательность марковских моментов, исчерпывающая скачки процесса , ясно, что: а) ; б)  на множестве ; в) . Тогда последнее равенство (18) можно записать в виде

 

  

                                   .                    (18а)

Отсюда следует, что в момент времени  происходит скачек у процесса  и его величина вычисляется по формуле . Поэтому Р - п. н.

                                          .                       (19)

Пусть , из (18) следует, что Р - п. н.

.

Очевидно, что

.

Далее в силу (18), имеем

 .

Заметим, что

.

Поэтому

×

.

Продолжая этот процесс далее, получаем, что P – п.н.

,(20)

который является решением этого уравнения.

Легко показать, что

1)  если выполняются условия:

а) Р - п. н. , б) для  Р - п. н.,

в)  для  Р- п. н.;

2)  если выполняются условия:

а) Р - п. н. , б) для  Р -п. н., в) для

Р - п. н. ;

3)  если выполняются условия:

а)  Р - п. н., б) для  Р - п. н.,

в) для  Р - п. н. .

Таким образом, доказано утверждение.

Теорема 49. Пусть выполнены условия 1) , 3). Тогда уравнение (17) имеет единственное положительное решение, которое имеет вид (19), причем если выполнено условие 2), то Р - п. н.  для . Кроме того, если , то для  и  и является равномерно интегрируемым мартингалом (относительно меры Р).

Замечание. Из теоремы 49 следует, что с помощью процесса  можно определить вероятностную меру , где . Очевидно, , а  - производная Радона – Никодима меры Q относительно меры P.

15.4. Теорема 50 (Гирсанов). Пусть  опциональный случайный процесс с конечным или счетным множеством состояний Е и матрицей интенсивности перехода . Пусть  удовлетворяет условиями 1)-3) теоремы 44. Тогда относительно меры , где  процесс  - опциональный с конечным или счетным числом состояний и матрицей интенсивности перехода .

Доказательство. Пусть  - целочисленная случайная мера, построенная по скачкам процесса . Из условий теоремы следует, что ее компенсатор относительно меры P имеет вид , т. е.  является мартингалом относительно меры Р. Нам надо показать, что относительно меры Q процесс  - мартингал относительно потока , т. е. Q - п. н. . Последнее равенство выполнено тогда и только тогда, когда для . Из определения меры Q следует

.

Из свойств условного математического ожидания, в силу того, что

  - измеримо, имеем

.

Учитывая, что  - равномерно интегрируемый мартингал относительно меры Р, имеем

.

Применим теперь формулу Ито для произведения мартингалов

, имеем P - п. н.

.

Рассмотрим . Очевидно, что

, .

Поэтому

 .

Значит

 

  

 .

Ещё посмотрите лекцию "9 Оператор присваивания" по этой теме.

Таким образом, имеем

.                          (21)

Заметим, что второе и третье слагаемые правой части (21) являются стохастическими интегралами по мартингалам, имеющим ограниченную вариацию. Поэтому они являются мартингалами относительно меры Р, имеем

.

Доказательство закончено.