Преобразование Лапласа. Изображение и оригинал функции действительной переменной
Глава II. Операционное исчисление.
В этой главе рассматривается один из прикладных разделов ТФКП, используемый, в основном, при решении дифференциальных уравнений (как обыкновенных, так и с частными производными).
§1. Преобразование Лапласа. Изображение и оригинал функции действительной переменной.
Пусть − действительная функция действительной переменной t. Поставим ей в соответствие комплексную функцию по следующему правилу:
Функция, F(p), определенная таким образом, называется преобразованием Лапласа функции f(t).
Для существования интеграла в преобразовании Лапласа на функцию f(t) накладываются следующие ограничения:
1) причем при
2) На любом ограниченном участке оси t функция f(t) имеет не более конечного числа точек разрыва первого рода.
3) При f(t) имеет ограниченный рост: .
Рекомендуемые материалы
( Показателем степени роста функции называется inf{a} , для которых выполняется данное неравенство)
Определение 1. Функция F(p) называется изображением функции f(t), которая называется оригиналом для F(p). Это отношение будем обозначать следующим образом: .
Примеры. 1.Найдем изображение функции, равной единице. Учитывая условие (1) на функции, будем считать ее равной
В дальнейшем, по умолчанию, будем считать, что t ≥ 0.
2.
3. {без вывода}
Ещё посмотрите лекцию "20.1 Модели поведения и типы конфликтных личностей" по этой теме.
Несобственный интеграл преобразования Лапласа, очевидно, может сходиться не при всех значениях параметра р. Следующая теорема устанавливает достаточное условие сходимости для рассматриваемого класса функций f(t):
Теорема 1. Интеграл сходится в области где а − показатель роста функции f(t) (при этом в области интеграл сходится равномерно)
{Пусть Отсюда сразу следует
(основной признак сравнения) , что при x > a интеграл сходится.}
Следующая теорема в определенном смысле является обобщением теоремы 1:
Теорема 2. Пусть функция f (t) определена при , для которого сходится интеграл преобразования Лапласа. Тогда этот интеграл будет сходиться {б/д}