Вычет функции в бесконечно удаленной особой точке
§20. Вычет функции в бесконечно удаленной особой точке.
Определение. Вычетом аналитической функции f(z) в точке z = ∞ называется значение интеграла , где С – произвольный замкнутый контур, вне которого f(z) – аналитическая и не имеет особых точек, отличных от ∞. Фактически, контур С − является границей окрестности бесконечно удаленной точки, при обходе которой область остается слева. В силу определения коэффициентов ряда Лорана
получаем:
Пример. Вычислить Res. {}
Из полученных формул следует утверждение:
Теорема. Пусть функция f(z) регулярна на расширенной комплексной плоскости, за исключением конечного числа изолированных особых точек z1,…,zn−1, zn = ∞. Тогда
{Пусть контур С содержит внутри себя все конечные особые точки. В силу Т.§19 и последней полученной формулы имеем: . Из второй части равенства следует утверждение теоремы.}
Пример. Рассмотрим последний пример: Res[f,0] = = − Res[f,∞],
Лекция "Федор Михайлович Достоевский" также может быть Вам полезна.
т.е. сумма всех вычетов расширенной комплексной плоскости равна нулю.
Выведенная формула может быть записана следующим образом:
.
В такой форме она применяется как при вычислении вычета в бесконечно удаленной точке,
так и справа налево при вычислении интегралов в том случае, когда внутри контура С находится несколько полюсов высокого порядка, а вычет в бесконечно удаленной точке может быть найден достаточно просто непосредственно.
Замечание. Из последней формулы следует, что вычет функции, имеющей в бесконечно удаленной точке устранимую особенность, может быть отличным от нуля.