Свойства изображения
§2. Свойства изображения.
1. Линейность. Пусть
{Доказательство следует из линейных свойств интеграла}
Пример.
2. Пусть тогда
{}
3. Теорема запаздывания.
Пусть и {б/д}
Эта теорема часто используется в случае периодических функций.
Рекомендуемые материалы
4. Изображение производной. Пусть удовлетворяет условиям существования изображения. В этом случае
{}
Пример.
В общем случае:{доказательство аналогично}
В основном, эти формулы применяют при решении дифференциальных уравнений.
5. Изображение интеграла.
Пусть тогда {б/д}
6. Изображение свертки.
Определение. называется функция φ(t), определенная равенством: { замена переменных: }
Пусть В этом случае {б/д}
7. Дифференцирование изображения.
Пусть тогда {доказательство сводится к дифференцированию несобственного интеграла по параметру}
В общем случае имеет место формула
Полученные формулы часто используются для вывода изображений функций вида tn f(t).
Пример. f(t) = t sinωt.
8. Интегрирование изображения. Пусть и функция удовлетворяет
условиям существования изображения, тогда {б/д}
Пример.
9. Теорема смещения.
Пусть
{}
Пример. (см. пример 3, §1)
СВОЙСТВА ИЗОБРАЖЕНИЙ
1) 2)
3)
4)
5)
6) 7)
8) 9)
ИЗОБРАЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
1) 2)
3) 4)
5) 6)
Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - 13 Функции конфликта.
7) 8)
9)
10)
11) , 12) ,