Приложение И Ортогональные векторы и матрицы

П.10. Ортогональные векторы и матрицы

Два вектора а и b размеров nx1 ортогональны между собой, если их произведение

a^Tb=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=0.                                       (П.10.1)

Заметим, что термин ортогональны относится к двум векторам, а не к одному вектору.

Геометрически два ортогональных вектора перпендикулярны друг к другу. Это показано на рисунке П.10.1 для векторов x₁^T=[4, 2] и x₂^T=[–1, 2]. Заметим, что

x₁^Tx₂=(4)(–1)+(2)(2)=0.

Рис. П.10.1. Два ортогональных (перпендикулярных) вектора.

Рекомендуемые материалы

Рис. П.10.2. Векторы а и b в 3-х мерном пространстве.

Чтобы показать, что два ортогональных вектора перпендикулярны, пусть угол между векторами а и b на рисунке П.10.2 будет q. В векторной алгебре произведение векторов а^Тb является их скалярным произведением. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними [Беклемишев (2006) стр.24]

а^Тb=cosq                                (П.10.2)

Если q =90º, то a^Тb=0, так как cos(90º) =0. Поэтому а и b перпендикулярны, если a^Тb=0.

Если а^Та=1, то вектор а называется нормированным. Вектор b может быть нормирован путём деления его на свою длину . Таким образом, вектор

m=b/                                                   (П.10.3)

нормирован, так что m^Тm=1.

Совокупность векторов m₁, m₂,..., m_р, которые нормированы (m_i^Тm_i=1 для всех i) и взаимно ортогональны (m_i^Тm_j=0 для всех i≠j; i, j=1, 2, ..., р), является ортонормированной совокупностью векторов. Если матрица M= [m₁, m₂,..., m_р] размеров рхр имеет ортонормированные столбцы, то эта матрица называется ортогональной. Поскольку элементы матрицы M^ТM являются произведениями столбцов M [см. пункт 1 теоремы П.2.3], то ортогональная матрица M обладает следующим свойством

M^ТM=I.                                                         (П.10.4)

Можно показать, что для ортогональной матрицы M также справедливо выражение

MM^Т=I.                                                         (П.10.5)

Таким образом, ортогональная матрица M имеет как ортонормированные строки, так и ортонормированные столбцы. Из (П.10.4) и (П.10.5) также ясно, что если матрица M ортогональная, то M^Т=M^–1.

Пример П.10. Для знакомства с ортогональной матрицей, начнём с матрицы

А=,

столбцы которой взаимно ортогональны, но не ортонормированы. Для нормирования столбцов матрицы необходимо элементы столбцов поделить на соответствующие длины столбцов, то есть, на ,  и , чтобы получить ортогональную матрицу

M=,

столбцы которой ортонормированы. Заметим, что строки её также ортонормированы, так что M удовлетворяет уравнениям (П.10.4) и (П.10.5).

□

Умножение вектора на ортогональную матрицу имеет эффект вращения осей. Так, если вектор х преобразуется в вектор у=Mx умножением на ортогональная матрицу M, то длина вектора у равна длине вектора х

у^Ту=(Mx)^Т(Mx)=x^ТM^ТMx=x^ТIx=x^Тx.                      (П.10.5)

Следовательно, преобразование х в у является поворотом.

В лекции "5. Экономическое построение системы" также много полезной информации.

Некоторые свойства ортогональных матриц даны в следующей теореме.

Теорема П.10. Если матрица M=M_рр ортогональная, а матрица А=А_рр любая квадратная, то

1. det(M)=+1 или –1,

2. det(M^ТAM)=det(A),

3. значение любого элемента m_ij матрицы M находится в интервале –1<m_ij<1.

Доказательство:

1. det(I)=det(M^ТM)=det(M^Т)det(M)=det(M)det(M)=[det(M)]². Поэтому [det(M)]²=1 и det(M)=±1.
2. В силу (П.9.13), определитель det(M^ТAM)=det(AMM^Т)=det(AI)=det(A).
3. Так как m_i^Тm_i=1 для всех i, то имеем m_i^Тm_i==1, а максимальное значение любого m_ij² равно 1.