Пример эксперимента по дробному плану

12.3. Пример эксперимента по дробному плану

В последовательном экспериментировании, если для достижения желаемого уровня точности не нужно использовать всё число опытов полного или повторяемого дробного факторного плана, то лучше всего начать с эксперимента по дробному факторному плану. Такие планы всегда могут быть позднее увеличены, если в этом появится необходимость. В этом случае эксперимент по первому дробному плану покажет, как нужно выбрать следующий дробный план для соединения в больший план таким образом, чтобы ответить на вопросы и разрешить неопределённости.

Рассмотрим эксперимента по плану 2_III^7–4 [Боков (1988), Bokov (2002)]. Этот эксперимент поставлен с целью изучения времени срабатывания пневматического преобразователя линейных перемещений, схема которого показана на Рис.12.3.1. В преобразователе сжатый воздух через регулятор давления поступает в два канала. В нижнем канале воздух через входной дроссель подаётся в камеру противодавления и истекает из неё через регулируемый дроссель в атмосферу. В верхнем канале сжатый воздух поступает в рабочую камеру через переменный входной дроссель с коническим клапаном и вытекает из неё через дроссель сопло-заслонка. Разделяет камеры очень эластичная резиновая мембрана с жёстким центром. Жёсткий центр мембраны через шток связан с индикатором перемещений и на штоке установлен конический клапан, служащий для автоматического изменения проходного сечения входного дросселя рабочей камеры.

Рис.12.3.1. Схема пневматического преобразователя линейных перемещений

Для установки преобразователя в рабочее положение между соплом и заслонкой устанавливается рабочий зазор, создающий в рабочей камере измерительное давление. Выходной дроссель камеры противодавления при этом регулируется так, чтобы давления в камерах были приблизительно равны и конический клапан находился в рабочем положении. В этом положении создаётся проходное сечение переменного дросселя равное половине наибольшего значения, и индикатор показывает нуль. Перемещение заслонки ведёт к изменению зазора между ней и соплом и давления в рабочей камере, что приводит к изменению положения конического клапана и показания индикатора. С целью устранения сухого трения шток устанавливается в аэростатических направляющих.

Когда заслонка отсутствует, то сжатый воздух свободно истекает из сопла и конический клапан находится в верхнем положении. При этом расход воздуха через преобразователь максимальный. При появлении заслонки перед соплом давление в рабочей камере увеличивается, что вызывает перемещение вниз жёсткого центра мембраны и штока с коническим клапаном. Это перемещение будет до тех пор, пока не установится новое равновесие сил между разностью давлений в камерах, весом подвижных деталей и усилием пружины сжатия. Отрезок времени между моментом появления перед соплом заслонки и моментом установки подвижных деталей в новое положение является временем срабатывания преобразователя. Так как в преобразователе используется очень эластичная мембрана и давление в камере противодавления почти не изменяется, то масса воздуха в рабочей камере сильно не меняется и поэтому время его срабатывания короткое.

Исследование было начато постановкой эксперимента из восьми опытов по дробному факторному плану для изучения влияния семи факторов на время срабатывания преобразователя. Опыты проводились в случайной последовательности. Используемые в эксперименте семь факторов показаны в таблице 12.3.1. Эти семь факторов определяют различные состояния элементов преобразователя и условия его работы.

Для создания дробного плана эксперимента использовался полный план 2³. На его основе с использованием произведений Адамара были получены вектор-столбцы уровней взаимодействий исходных факторов, как показано в таблице 12.2.1. Все воздействия взаимодействий двух и трёх факторов были совмещены с воздействиями новых факторов х₄, х₅, х₆ и х₇ из таблицы 12.3.1. Полученный в результате дробный план эксперимента со столбцами уровней всех факторов показан в таблице 12.3.2. Этот факторный план 2^7–4 является одной шестнадцатой частью полного факторного плана 2⁷ и обладает проективностью Р=2.

Рекомендуемые материалы

Таблица 12.3.1. Факторы эксперимента и обозначения их воздействий на отклик

Создающими план 2^7–4 на основе плана 2³ генерирующими равенствами являются х₄=х₁◦х₂, х₅=х₁◦х₃, х₆=х₂◦х₃, х₇=х₁◦х₂◦х₃ или равносильно их можно записать в виде определяющего отношения 1=х₁◦х₂◦х₄=х₁◦х₃◦х₅=х₂◦х₃◦х₆=х₁◦х₂◦х₃◦х₇, где х₁, х₂, ..., х₇ – вектор-столбцы уровней факторов х₁, х₂, ..., х₇ в таблице 12.3.2. Однако это определяющее отношение является неполным, так как на его основе невозможно найти все структуры совмещённых воздействий. Для нахождения полного определяющего отношения надо ещё добавить все результаты произведений Адамара, получающиеся в результате всех возможных перемножений четырёх членов исходного определяющего отношения. Например, умножение первых двух членов даёт х₁◦х₂◦х₄◦х₁◦х₃◦х₅ =х₁◦х₁◦х₂◦х₃◦х₄◦х₅ =х₂◦х₃◦х₄◦х₅, так как х₁◦х₁=1. В результате, полным определяющим отношением является 1=х₁◦х₂◦х₄=х₁◦х₃◦х₅=х₂◦х₃◦х₆ =х₁◦х₂◦х₃◦х₇ =х₂◦х₃◦х₄◦х₅ =х₁◦х₃◦х₄◦х₆ =х₃◦х₄◦х₇ =х₁◦х₂◦х₅◦х₆ =х₂◦х₅◦х₇ =х₁◦х₆◦х₇=х₄◦х₅◦х₆ =х₁◦х₄◦х₅◦х₇ =х₂◦х₄◦х₆◦х₇ =х₃◦х₅◦х₆◦х₇ =х₁◦х₂◦х₃◦х₄◦х₅◦х₆◦х₇.

Таблица 12.3.2. План из восьми опытов для изучения влияний семи факторов

В этом определяющем отношении есть члены, имеющие наименьшее число сомножителей равное трём. Поэтому данный план имеет разрешающую способность III и записывается в виде 2_III^7–4. Произведения Адамара членов определяющего отношения на х₁ преобразуют его к виду х₁=х₂◦х₄=х₃◦х₅=х₁◦х₂◦х₃◦х₆ =х₂◦х₃◦х₇ =х₁◦х₂◦х₃◦х₄◦х₅ =х₃◦х₄◦х₆ =х₁◦х₃◦х₄◦х₇ =х₂◦х₅◦х₆ =х₁◦х₂◦х₅◦х₇ =х₆◦х₇=х₁◦х₄◦х₅◦х₆ =х₄◦х₅◦х₇ =х₁◦х₂◦х₄◦х₆◦х₇=х₁◦х₃◦х₅◦х₆◦х₇ =х₁◦х₂◦х₃◦х₄◦х₅◦х₆◦х₇. В полученном, если считать, что все взаимодействия трёх и большего числа факторов дают пренебрежимо малые воздействия, то соответствующие им члены определяющего отношения можно сократить и на основе оставшихся х₁=х₂◦х₄=х₃◦х₅ =х₆◦х₇ получается сокращённая структура β₁+β₂₄+β₃₅+β₆₇ совместных воздействий фактора х₁ и двухфакторных взаимодействий остальных факторов. Сокращённые структуры совместных воздействий всех остальных факторов с двухфакторными взаимодействиями приведены в таблице 12.3.3.

Таблица 12.3.3. Совместные воздействия факторов и двухфакторных взаимодействий и результаты их оценки для данных эксперимента по плану 2_III^7–4

Эти структуры совместных воздействий можно найти и с использованием матрицы совмещения для воздействий факторов эксперимента по плану 2_III^7–4 с воздействиями двухфакторных взаимодействий. Функция модели этого эксперимента с учётом всех двухфакторных взаимодействий записывается в виде Е(у)=Х₁β₁+Х₂β₂, где вектор параметров β₁^Т=[β₀, β₁, β₂, β₃, β₄, β₅, β₆, β₇], вектор параметров β₂^Т=[β₁₂, β₁₃, β₁₄, β₁₅, β₁₆, β₁₇, β₂₃, β₂₄, β₂₅, β₂₆, β₂₇, β₃₄, β₃₅, β₃₆, β₃₇, β_45, β₄₆, β₄₇, β₅₆, β₅₇, β₆₇], Х₁ – матрица модели эксперимента без учёта двухфакторных взаимодействий и Х₂ – матрица уровней двухфакторных взаимодействий факторов из таблицы 12.3.1. Как и в предыдущем разделе, матрица совмещения воздействий находится по формуле А=(X₁^TX₁)^–1X₁^TХ₂. Результат её вычисления представлен в таблице 12.3.4.

Таблица 12.3.4. Матрица коэффициентов совмещения воздействий по плану 2_III^7–4

Вместе с этой лекцией читают "14.3 Русско-японская война 1904-1905 гг".

Все опыты эксперимента повторялись трижды и их результаты в миллисекундах представлены в таблице 12.3.2 в столбцах у₁, у₂ и у₃. На основе этих данных можно оценить дисперсию ошибок опытов следующим образом. По формуле (6.4.1) находится сумма квадратов чистых ошибок, а по формуле (6.4.2) - число её степеней свободы. В разделе 11.3 показано, что среднеквадратичное суммы квадратов чистых ошибок является несмещённым результатом оценки дисперсии ошибок. Отсюда получаем результат s²=16 оценки дисперсии. Результат оценки дисперсии оценочных воздействий получается 0,125s²=2, а равная корню квадратному из результата оценки дисперсии их стандартная ошибка равна ±1,414.

Оценка совмещённых воздействий делается методом наименьших квадратов с использованием постулируемой модели у=β₀+β₁х₁+β₂х₂+β₃х₃+β₄х₄+β₅х₅+β₆х₆+β₇х₇+ε и вектор-столбца  усреднённых значений переменных отклика из таблицы 12.3.2. Результаты оценки представлены в таблице 12.3.3. Сравнение результатов оценки со стандартной ошибкой показывает, что выделенные жирным шрифтом значения b₁, b₂, b₃, b₄, b₅ и b₇ явно выделяются из шума, так как отличаются от стандартной ошибки больше чем в 2 раза.

Простейшее объяснение результатов оценки совместных воздействий состоит в том, что из семи факторов только четыре: х₁ - эффективная площадь мембраны, х₂ - проходное сечение дросселя сопло-заслонка, х₃ - проходное сечение входного дросселя камеры противодавления и х₇ - давление сжатого воздуха на входе в преобразователь, оказывают существенное влияние и их воздействия совмещены с воздействиями двухфакторных взаимодействий. Однако, при четырёх активных факторах, показанный в таблице 12.2.1 план 2^4–1 состоит также из восьми опытов. Поэтому, если считать, что эксперимент проводился по плану 2^4–1 из таблицы 12.2.1 с четырьмя факторами, то получается, что b₁, b₂, b₃ и b₇ являются результатами оценки для структур совмещения воздействий самих этих факторов с воздействиями трёхфакторных взаимодействий.

Эксперимент по плану 2^4–1 представлен графически на Рис.12.3.2. Из него видно, что изменение факторов х₁, х₃ и х₇ с нижнего на верхний уровень ведёт к уменьшению времени срабатывания преобразователя, а изменение фактора х₂ с нижнего на верхний уровень ведёт к увеличению его времени срабатывания. Это следует также из анализа результатов оценки совмещённых воздействий в таблице 12.3.3. Результат b₇ оценки совместных воздействий фактора х₇ и двухфакторных взаимодействий выделяется из шума и поэтому фактором х₇ нельзя пренебрегать.

Рис.12.3.2. Графическое изображение эксперимента по плану 2^4–1