Вычеты

Вычеты

Опр. -изолированная особая точка.  называется вычетом, где  - коэффициент при -1 степени в разложении ряда Лорана:  

Основная теорема о вычетах.

Если G – односвязная область, Г – замкнутый контур, Г ограничевает G, G содержит конечное число изолированных особых точек  функции , то

.

Док-во:         

Окружит каждую особую точку  окружностью  так, чтобы внутри  не было других особых точек, и чтобы  и   не пересекались(ij).

.

Рекомендуемые материалы

Вычисление вычетов

1.

Утв. Если  - устранимая особая точка , то (Т.к. главная часть ряда Лорана не содержит ни одного члена )

2.

а) Утв. Если -простой полюс (полюс кратности 1), то .

Док-во:

Пример.

         ,

          имеет простой полюс.

б) Утв. Если ,,,, то .

Док-во:

-полюс I порядка  

3.

Утв. Если -полюс порядка n , то .

Док-во:

Переходим к  и делим на :

Пример1.

;

Пример2.

Опр.  - изолированная особая точка ,

, где Г- замкнутый контур.

Утв. Если , то .

Док-во:

1) .

2) С: {}

    ,

    при

3)

4)

Теорема. Если -изолированная особая точка, кроме  имеется конечное число особых точек, то

Лекция "Структурно-логические модели надежности ПО" также может быть Вам полезна.

Док-во:

Возьмем замкнутый контур С, охватывающий все особые точки, кроме

;

;

;