Особые точки функций комплексного переменного
Особые точки функций комплексного переменного
Опр. Особой точкой функции называется точка в которой не определена или не дифференцируема.
Опр. Особая точка называется изолированной, если такая ее окрестность, в которой нет других особых точек.
Утв. Если - изолированная особая точка , то в окрестности , раскладывается в ряд Лорана.
Классификация особых точек
Опр1. Особая точка называется устранимой, если в ряде Лорана в окрестности этой точки отсутствует главная часть.
Опр2. Изолированная особая точка называется полюсом, если главная часть ряда Лорана в окрестности этой точки имеет конечное число членов:
Рекомендуемые материалы
Число N называется кратностью (порядком полюса).
Утв. Если - полюс , то .
Док-во:
Опр3. Изолированная особая точка называется существенно особой, если главная часть разложения в ряд Лорана в окрестности этой точки содержит бесконечное число членов.
Связь между нулем и полюсом
Утв1. имеет в точке нуль порядка n имеет в точке полюс порядка n.
Док-во: {}
Утв2. имеет существенно особую точку в точке имеет в неизолированную особую точку ИЛИ существенно особую точку.
Пример.
;
;
; ;
Таким образом, получаем не изолированную особую точку.
Утв3. Если ,
,
,
то имеет при:
1)mn устранимую особую точку,
2)m>n полюс порядка n-m.
Док-во: {для 2}
;
Теорема Сохоцкого.
Если -существенно особая точка функции , то .
Док-во:
1)
а)
-сходится при
сходится при
б) Предположим противное:
ограничена в окрестности точки .
в)
при (т.е. ограничена в окрестности ).
г)В круге ограничена, как непрерывная функция в замкнутой области.
д) Из б), в), г) следует ограничена на всей комплексной плоскости.
е) ограничена на С, аналитическая, по теореме Ляувилля противоречие.
2)
а) имеет не изолированную особую точку.
б) -изолированная особая точка
имеет изолированную особую точку в имеет существенно особую точку по Утв2 имеет существенно особую точку в
по 1)
Вам также может быть полезна лекция "Лекции 2 - Классификация ПР и системы координат".
Теорема доказана.
Особые точки в бесконечности
Утв. Если -изолированная особая точка , то
Док-во:
Пусть . Раскладываем в окрестности нуля:
.