Особые точки функций комплексного переменного

Особые точки функций комплексного переменного

Опр. Особой точкой функции  называется точка в которой  не определена или не дифференцируема.

Опр. Особая точка называется изолированной, если  такая ее окрестность, в которой нет других особых точек.

Утв. Если - изолированная особая точка , то в окрестности ,  раскладывается в ряд Лорана.

Классификация особых точек

Опр1. Особая точка называется устранимой, если в ряде Лорана в окрестности этой точки отсутствует главная часть.

Опр2. Изолированная особая точка называется полюсом, если главная часть ряда Лорана в окрестности этой точки имеет конечное число членов:

Рекомендуемые материалы

Число N называется кратностью (порядком полюса).

Утв.  Если  - полюс , то .

Док-во:                                                                              

Опр3. Изолированная особая точка называется существенно особой, если главная часть разложения в ряд Лорана в окрестности этой точки содержит бесконечное число членов.

Связь между нулем и полюсом

Утв1.  имеет в точке  нуль порядка n  имеет в точке  полюс порядка n.

Док-во: {}

 

 

Утв2.  имеет существенно особую точку в точке  имеет в  неизолированную особую точку ИЛИ существенно особую точку.

Пример.

         ;

         ;

       ; ;

                                     

Таким образом, получаем не изолированную особую точку.

Утв3. Если ,

                 ,

                 ,

         то  имеет при:

                 1)mn устранимую особую точку,

                 2)m>n полюс порядка n-m.

Док-во: {для 2}

 

;

Теорема Сохоцкого.

Если -существенно особая точка функции , то .

Док-во:

1)

    а)

        -сходится при

         сходится при

       

    б) Предположим противное:

        

            ограничена в окрестности точки .

    в)

       

        при (т.е.  ограничена в окрестности ).

    г)В круге    ограничена, как непрерывная функция в замкнутой области.

    д) Из б), в), г) следует   ограничена на всей комплексной плоскости.

    е)  ограничена на С,  аналитическая, по теореме Ляувилля    противоречие.

 2)

    

     а) имеет не изолированную  особую точку.

     б) -изолированная особая точка

 имеет изолированную особую точку в    имеет существенно особую точку   по Утв2  имеет существенно особую точку в

по 1)   

Вам также может быть полезна лекция "Лекции 2 - Классификация ПР и системы координат".

Теорема доказана.

Особые точки в бесконечности

Утв. Если -изолированная особая точка , то

Док-во:

Пусть . Раскладываем  в окрестности нуля:

.