Ряд Лорана
Ряд Лорана
Теорема. 
- аналитическая в кольце с центром 
, то ее можно представить в виде ряда Ларана.
Док-во:
Выберем точку z внутри кольца и окружности 
и Г (тоже внутри кольца), так чтобы точка z лежала между ними.
1. 
Рекомендуемые материалы
2. 
Ряд мажорируется рядом 
Он сходится равномерно и его можно почленно интегрировать.
Если контур С лежит между и Г, то интеграл по С равен интегралу по , т.к. между и С функция аналитическая.
Опр. В ряде Лорана первая сумма называется правильной частью ряда Лорана, а вторая сумма – главной частью.
Следствие1. Правильная часть сходится в круге 
, а главная часть вне круга радиуса r (т.е. при 
)
Следствие2. Из доказательства теоремы вытекает, что ряд Лорана находится единственным образом.
Пример1.
;
Первое слагаемое сходится при 
, т.е. 
, т.е. вне малой окружности.
Второе слагаемое сходится при 
, 
, т.е. внутри большой окружности.
Таким образом получен ряд Лорана в кольце 
.
Пример2. 
;
Первое слагаемое сходится при 
.
Информация в лекции "68 Чешские земли в составе империи Габсбургов" поможет Вам.
Опр. Ряд в области 
называется рядом в окрестности точки . Ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.
Утв. Если - аналитическая в окрестности 
-изолированная особая точка, то в окрестности :
.
Док-во:
,
;
