Вычисление определённого интеграла, формула Ньютона-Лейбница
11.3. Вычисление определённого интеграла.
Формула Ньютона-Лейбница.
11.3.1. Интеграл с переменным верхним пределом.
Значение определённого интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования: (чтобы убедиться в этом, достаточно выписать интегральные суммы, они совпадают). В этом разделе переменную интегрирования будем обозначать буквой , а буквой обозначим верхний предел интегрирования. Будем считать, что верхний предел интеграла может меняться, т.е. что - переменная, в результате интеграл будет функцией своего верхнего предела: . Легко доказать, что если интегрируема, то непрерывна, но для нас важнее следующая фундаментальная теорема:
Теорема об интеграле с переменным верхним пределом. Если функция непрерывна в окрестности точки , то в этой точке функция дифференцируема, и .
Другими словами, производная определённого интеграла от непрерывной функции по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в этом пределе.
Док-во. Дадим верхнему пределу приращение . Тогда
, где - точка, лежащая между и (существование такой точки утверждается теоремой о среднем; цифры над знаком равенства - номер применённого свойства определённого интеграла). . Устремим . При этом ( - точка, расположенная между и ). Так как непрерывна в точке , то . Следовательно, существует , и . Теорема доказана.
Рекомендуемые материалы
Отметим первое важное следствие этой теоремы. По существу, мы доказали, что любая непрерывная функция имеет первообразную, и эта первообразная определяется формулой . Другим важным следствием этой теоремы является формула Ньютона-Лейбница, или основная формула интегрального исчисления.
11.3.2. Формула Ньютона-Лейбница. Если непрерывна на отрезке , и - некоторая первообразная функции , то .
Док-во. Мы установили, что функция - первообразная непрерывной . Так как - тоже первообразная, то . Положим в этом равенстве . Так как , то . В равенстве переобозначим переменные: для переменной интегрирования вернёмся к обозначению , верхний предел обозначим . Окончательно, .
Разность в правой части формулы Ньютона-Лейбница обозначается специальным символом: (здесь читается как "подстановка от до "), поэтому формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают так: .
Пример применения формулы Ньютона-Лейбница: .
11.3.3. Формула интегрирования по частям для определённого интеграла. Если - непрерывно дифференцируемые функции, то .
Док-во. Интегрируем равенство в пределах от до : . Функция в левом интеграле имеет первообразную , по формуле Ньютона-Лейбница , следовательно, , откуда и следует доказываемое равенство.
Пример: .
11.3.4. Замена переменной в определённом интеграле. Теорема. Пусть функция
1. определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке ,
2. ,
Вместе с этой лекцией читают "Невербальная коммуникация".
3. функция непрерывна на отрезке .
Тогда .
Док-во. Пусть - первообразная для функции , т.е. , тогда - первообразная для функции . , что и требовалось доказать.
При решении задач нельзя забывать о том, что при переходе к новой переменной надо обязательно вычислить новые пределы интеграла. Пример:
.