Свойства определённого интеграла

11.2. Свойства определённого интеграла.

            1. Линейность. Если функции ,  интегрируемы по отрезку , то по этому отрезку интегрируема их линейная комбинация , и

.

Док-во: для любого разбиения отрезка и любого выбора точек  . Перейдем в этом равенстве к пределу при . Так как существуют пределы интегральных сумм, стоящих в левой части равенства, то существует предел линейной комбинации этих сумм, следовательно, существует предел правой интегральной суммы, откуда следует истинность и утверждения, и равенства.

            2. Аддитивность. Если  интегрируема по отрезку  и точка  принадлежит этому отрезку, то .

Док-во. Если  удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезку , то она удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезкам  и . Будем брать такие разбиения отрезка , чтобы точка  являлась одним из узлов : . Тогда . В этом равенстве первая сумма справа - интегральная сумма для , вторая - для .Переходим к пределу при . Пределы для всех трёх сумм существуют, и .

Свойство аддитивности остаётся верным при любом расположении точек, если только функция интегрируема по самому широкому интервалу. Пусть, например, , и  интегрируема по . Тогда, по доказанному, . Отсюда и из определения интеграла для случая, когда нижний предел больше верхнего, следует, что .

            При формулировании и доказательстве следующих свойств предполагаем, что .

            3. Интеграл от единичной функции (). Если , то .

Рекомендуемые материалы

Док-во. Если , то для любого разбиения

, т.е любая интегральная сумма равна длине отрезка. Предел постоянной равен этой постоянной, откуда и следует доказываемое утверждение.

            4. Теорема об интегрировании неравенств. Если в любой точке  выполняется неравенство , и функции  ,  интегрируемы по отрезку , то .

Док-во. Для любого разбиения отрезка и любого выбора точек  при  . Переходя в этом неравенстве к пределу при , получаем требуемое неравенство.

            5. Теоремы об оценке интеграла.

5.1. Если на отрезке  функция удовлетворяет неравенству , то .

            Док-во. Докажем левое неравенство (цифрами над знаками импликации обозначены номера применяемых ранее доказанных свойств): . Аналогично доказывается и  правое неравенство.

Ещё посмотрите лекцию "10.5. Криминалистическая характеристика" по этой теме.

5.2. Если функция  интегрируема по отрезку , то .

Док-во. .

            6. Теорема о среднем. Если  непрерывна на отрезке , то существует точка , такая что .

Док-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее  и наибольшее  значения. Тогда . Число  заключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между  и . Таким образом, существует точка , такая что .

Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: если   непрерывна на отрезке , то существует точка  такая, что площадь криволинейной трапеции  равна площади прямоугольника с основанием   и высотой (на рисунке выделен цветом).