Вычисление определённого интеграла, формула Ньютона-Лейбница

11.3. Вычисление определённого интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница.

            11.3.1. Интеграл с переменным верхним пределом.

Значение определённого интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования:  (чтобы убедиться в этом, достаточно выписать интегральные суммы, они совпадают). В этом разделе переменную интегрирования будем обозначать буквой , а буквой  обозначим верхний предел интегрирования. Будем считать, что верхний предел интеграла может меняться, т.е. что  - переменная, в результате интеграл будет функцией  своего верхнего предела: . Легко доказать, что если  интегрируема, то  непрерывна, но для нас важнее следующая фундаментальная теорема:

            Теорема об интеграле с переменным верхним пределом. Если функция  непрерывна в окрестности точки , то в этой точке функция  дифференцируема, и .

            Другими словами, производная определённого интеграла от непрерывной функции по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в этом пределе.

Док-во. Дадим верхнему пределу  приращение . Тогда

, где  - точка, лежащая между  и  (существование такой точки утверждается теоремой о среднем; цифры над знаком равенства - номер применённого свойства определённого интеграла). . Устремим  . При этом  ( - точка, расположенная между  и ). Так как  непрерывна в точке , то  . Следовательно, существует , и . Теорема доказана.

Рекомендуемые материалы

            Отметим первое важное следствие этой теоремы. По существу, мы доказали, что любая непрерывная функция  имеет первообразную, и эта первообразная определяется формулой . Другим важным следствием этой теоремы является формула Ньютона-Лейбница, или основная формула интегрального исчисления.

            11.3.2. Формула Ньютона-Лейбница. Если  непрерывна на отрезке , и - некоторая первообразная функции , то .

            Док-во. Мы установили, что функция  - первообразная непрерывной . Так как  - тоже первообразная, то . Положим в этом равенстве . Так как , то . В равенстве  переобозначим переменные: для переменной интегрирования вернёмся к обозначению , верхний предел  обозначим . Окончательно, .

            Разность в правой части формулы Ньютона-Лейбница обозначается специальным символом:  (здесь  читается как "подстановка от  до "), поэтому формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают так: .

            Пример применения формулы Ньютона-Лейбница: .

            11.3.3. Формула интегрирования по частям для определённого интеграла. Если  - непрерывно дифференцируемые функции, то .

            Док-во. Интегрируем равенство  в пределах от  до : . Функция в левом интеграле имеет первообразную , по формуле Ньютона-Лейбница , следовательно, , откуда и следует доказываемое равенство.

            Пример: .

            11.3.4. Замена переменной в определённом интеграле. Теорема. Пусть функция

1. определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке ,

2. ,

Вместе с этой лекцией читают "Невербальная коммуникация".

3. функция  непрерывна на отрезке .

Тогда .

Док-во. Пусть  - первообразная для функции , т.е. , тогда  - первообразная для функции . , что и требовалось доказать.

            При решении задач нельзя забывать о том, что при переходе к новой переменной надо обязательно вычислить новые пределы интеграла. Пример:

.