Несобственные интегралы по неограниченному промежутку

12. Несобственные интегралы.

            При рассмотрении определённых интегралов мы предполагали, что область интегрирования ограничена (более конкретно, является отрезком  ); для существования определённого интеграла  необходима ограниченность подынтегральной функции на . Будем называть определённые интегралы, для которых выполняются оба эти условия (ограниченность и области интегрирования, и подынтегральной функции) собственными; интегралы, для которых нарушаются эти требования (т.е. неограничена либо подынтегральная функция, либо область интегрирования, либо и то, и другое вместе) несобственными. В этом разделе мы изучим несобственные интегралы.

12.1. Несобственные интегралы по неограниченному промежутку

(несобственные интегралы первого рода).

12.1.1. Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Пусть функция  определена на полуоси  и интегрируема по любому отрезку , принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла  при  называется несобственным интегралом функции  от  до  и обозначается .

Итак, по определению, . Если этот предел существует и конечен, интеграл  называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, интеграл называется расходящимся.

            Примеры: 1. ; этот предел не существует; следовательно, исследуемый интеграл расходится.

2.;

следовательно, интеграл сходится и равен .

Рекомендуемые материалы

            Аналогично интегралу с бесконечным верхним пределом интегрирования определяется интеграл в пределах от  до :  

и в пределах от  до : . В последнем случае  определена на всей числовой оси, интегрируема по любому отрезку;  - произвольная (собственная) точка числовой оси; интеграл называется сходящимся, если существуют и конечны оба входящих в определение предела.  Пользуясь свойством аддитивности определённого интеграла, можно показать, что существование конечных пределов и их сумма не зависят от выбора точки . Примеры:

3. . Интеграл сходится.

4.  

 следовательно, интеграл сходится и равен .

            Очевидно следующее утверждение, которое мы сформулируем для интеграла с бесконечным верхним пределом:  сходится тогда и только тогда, когда для любого , удовлетворяющего неравенству , сходится интеграл  (док-во: так как при  по свойству аддитивности , и  от не зависит, то конечный предел при  для интеграла в левой части существует тогда и только тогда, когда существует конечный предел для интеграла в правой части равенства).

            12.1.2. Формула Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла. В приведённых примерах мы сначала вычисляли с помощью первообразной функции определённый интеграл по конечному промежутку, а затем выполняли предельный переход. Объединим два этих действия в одной формуле. Символом  будем обозначать ; символом  - соответственно, ; тогда можно записать , , , подразумевая в каждом из этих случаев существование и конечность соответствующих пределов. Теперь решения примеров выглядят более просто:   - интеграл сходится;  - интеграл расходится.

            Для несобственных интегралов применимы формулы интегрирования по частям и замены переменной: ; при замене переменной несобственный интеграл может преобразовываться в собственный. Так, например, вычислим интеграл: . Пусть    ,   ;  если , то ;  если  то ;   Поэтому    (это уже собственный интеграл) = .

            12.1.3. Признаки сравнения для неотрицательных функций. В этом разделе мы будем предполагать, что все подынтегральные функции неотрицательны на всей области определения. До сих пор мы определяли сходимость интеграла, вычисляя его: если существует конечный предел первообразной при соответствующем стремлении ( или ), то интеграл сходится, в противном случае - расходится. При решении практических задач, однако, важно в первую очередь установить сам факт сходимости, и только затем вычислять интеграл (к тому же первообразная в практических задачах часто не выражается через элементарные функции). Сформулируем и докажем ряд теорем, которые позволяют устанавливать сходимость и расходимость несобственных интегралов от неотрицательных функций, не вычисляя их.

            12.1.3.1. Признак сравнения. Пусть функции   и  интегрируемы по любому отрезку  и при   удовлетворяют неравенствам . Тогда:

            если сходится интеграл , то сходится интеграл ;

            если расходится интеграл , то расходится интеграл

(эти утверждения имеют простой смысл: если сходится интеграл от большей функции, то сходится интеграл от меньшей функции; если расходится интеграл от меньшей функции, то расходится интеграл от большей функции; в случаях, когда сходится интеграл от меньшей функции или расходится интеграл от большей функции, никаких выводов о сходимости второго интеграла сделать нельзя).

            Док-во: если , , то функции  и  - монотонно возрастающие функции верхнего предела (следствие свойств аддитивности и интегрирования неравенств). Монотонно возрастающая функция имеет конечный предел тогда и только тогда, когда она ограничена сверху. Пусть   сходится.  ограничена  ,  ограничена, т.е.  сходится. Пусть  расходится   неограничена   неограничена, т.е.  расходится.

            Примеры: Исследовать на сходимость интегралы  5. . Функция  не имеет первообразной, выражающейся через элементарные функции, поэтому исследовать сходимость с помощью предельного перехода невозможно. При  имеет место ; интеграл  сходится   сходится   сходится.

6. . При  ; интеграл  расходится   расходится   расходится.

            В качестве "стандартного" интеграла, с которым сравнивается данный, обычно берётся интеграл типа , часто называемый интегралом Дирихле. Этот интеграл сходится, если , и расходится, если :

            Примеры:

7. . На всём промежутке интегрирования ; интеграл  сходится (), поэтому исходный интеграл  сходится;

8.  . Здесь  при ,  расходится (),поэтому исходный интеграл  расходится;

9. . Здесь сравнить подынтегральную функцию с какой-либо степенью  невозможно, так как числитель - неограниченная функция, поэтому рассуждаем по-другому. При   - бесконечно большая низшего порядка по сравнению с любой положительной степенью , поэтому  ограниченная функция, поэтому  , интеграл от большей функции сходится, следовательно, исходный интеграл тоже сходится;

10. . На всём промежутке интегрирования  (отбросив бесконечно большие низших порядков в числителе и знаменателе, мы увеличили числитель и уменьшили знаменатель); интеграл  сходится, поэтому исходный интеграл  сходится.

            Теперь рассмотрим . Понятно, что бесконечно большие низших порядков в числителе и знаменателе не влияют на сходимость интеграла; в то же время, отбросив их, мы уменьшим подынтегральную функцию, а из сходимости интеграла от меньшей функции не следует сходимость интеграла от большей функции. Можно рассуждать так: при достаточно больших  выполняются неравенства , поэтому  и т.д., однако при решении таких задач проще применить другой признак сравнения - предельный.

12.1.3.2. Признак сравнения в предельной форме. Пусть неотрицательные функции  и  интегрируемы по любому отрезку  и пусть существует конечный . Тогда несобственные интегралы  и  сходятся или расходятся одновременно.

            Док-во. Так как функции неотрицательны, то . По определению предела для  существует такое значение , что при  выполняется . Дальше рассуждения простые: пусть ; если сходится , то сходится , тогда, по теореме сравнения, сходится   сходится  сходится. Если расходится , то расходится , тогда, по теореме сравнения, расходится   расходится  расходится. Случаи, когда сходится или расходится , рассмотреть самостоятельно.

Сравнение интеграла   со "стандартным" интегралом  в предельной форме позволяет сформулировать такое правило: если при  неотрицательная функция  - бесконечно малая порядка малости выше первого по сравнению с , то  сходится; если  не является бесконечно малой или имеет порядок малости единица или ниже, то интеграл расходится. Примеры:

11. . При   эквивалентна функции , поэтому интеграл сходится.

12. . При   эквивалентна функции , поэтому интеграл расходится.

13. . При   эквивалентна функции , поэтому интеграл расходится.

14. . При   эквивалентна функции , поэтому интеграл расходится.

            12.1.4. Абсолютная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку. В предыдущем разделе  рассматривались интегралы от знакоположительных (знакопостоянных) функций; мы убедились, что для таких несобственных интегралов существуют хорошие методы исследования их сходимости. Естественен вопрос: нельзя ли свести исследование интеграла от произвольной функции  к исследованию интеграла от положительной функции ? Можно показать, что если сходится интеграл  , то обязательно сходится интеграл  (идея доказательства: разобьем отрезок   на два множества,   и , т.е. к первому множеству отнесены точки, в которых функция неотрицательна, ко второму - в которых функция отрицательна. Тогда , . В последней сумме оба слагаемые - монотонно возрастающие с ростом , ограниченные сверху, следовательно, имеющие конечный предел при . Отсюда следует, что имеет конечный предел и предыдущая сумма). Обратное утверждение неверно, т.е. при сходимости интеграла  интеграл  может расходиться. Введём важное понятие абсолютной сходимости.

            Опр. 12.1.4. Если сходится интеграл , то интеграл  называется сходящимся абсолютно. Если сходится интеграл , а интеграл  расходится, то интеграл  называется сходящимся условно.

            Примеры исследования интегралов на абсолютную сходимость:

15. . ; интеграл от большей функции сходится, следовательно,  сходится, следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно.

16. . , первый множитель, , стремится к нулю при , следовательно, ограничен: , интеграл от последней функции сходится, следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно.

            Приведённые примеры показывают, что переход от  к  и применение к последнему интегралу методов исследования на сходимость несобственных интегралов от неотрицательных функций, в случае его сходимости, позволяет сделать вывод и о сходимости (притом, абсолютной) исходного интеграла. Если же интеграл от   расходится, решение задач значительно усложняется. Пример: исследовать на сходимость интеграл .

1. Докажем, что этот интеграл сходится. Интегрируем его по частям: .

Для последнего интеграла , т.е. он сходится абсолютно, следовательно, исходный интеграл сходится.

2. Докажем, что для исходного интеграла абсолютной сходимости нет, т.е. что  расходится. Так как , то , для последнего интеграла, по доказанному выше, существует конечный предел при , для предыдущего - нет, следовательно,  расходится.

            Вывод - исходный интеграл сходится условно.

            Установить условную сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку при отсутствии абсолютной сходимости позволяют два следующих признака:

            признак сходимости Абеля: пусть функции  и  определены в промежутке , причём 1.  интегрируема в этом промежутке, т.е. интеграл  сходится (условно или абсолютно);

"37 Российские базы данных интерактивного доступа" - тут тоже много полезного для Вас.

            2.  монотонна и ограничена: .

            Тогда интеграл   сходится.

            признак сходимости Дирихле: 1. пусть функция  интегрируема в любом конечном промежутке , и интеграл по этому промежутку ограничен (как функция верхнего предела ):  ;

            2.  монотонно стремится к нулю при : .

            Тогда интеграл  сходится.

            Применим, например, признак Дирихле к . Здесь , , условия признака выполнены, поэтому интеграл сходится условно.