Несобственные интегралы по неограниченному промежутку
12. Несобственные интегралы.
При рассмотрении определённых интегралов мы предполагали, что область интегрирования ограничена (более конкретно, является отрезком 
); для существования определённого интеграла 
необходима ограниченность подынтегральной функции на . Будем называть определённые интегралы, для которых выполняются оба эти условия (ограниченность и области интегрирования, и подынтегральной функции) собственными; интегралы, для которых нарушаются эти требования (т.е. неограничена либо подынтегральная функция, либо область интегрирования, либо и то, и другое вместе) несобственными. В этом разделе мы изучим несобственные интегралы.
12.1. Несобственные интегралы по неограниченному промежутку
(несобственные интегралы первого рода).
12.1.1. Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Пусть функция 
определена на полуоси 
и интегрируема по любому отрезку , принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла при 
называется несобственным интегралом функции от 
до 
и обозначается 
.
Итак, по определению, 
. Если этот предел существует и конечен, интеграл называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, интеграл называется расходящимся.
Примеры: 1. 
; этот предел не существует; следовательно, исследуемый интеграл расходится.
2.
;
следовательно, интеграл сходится и равен 
.
Рекомендуемые материалы
Аналогично интегралу с бесконечным верхним пределом интегрирования определяется интеграл в пределах от 
до 
: 
и в пределах от до : 
. В последнем случае определена на всей числовой оси, интегрируема по любому отрезку; 
- произвольная (собственная) точка числовой оси; интеграл называется сходящимся, если существуют и конечны оба входящих в определение предела. Пользуясь свойством аддитивности определённого интеграла, можно показать, что существование конечных пределов и их сумма не зависят от выбора точки . Примеры:
3. 
. Интеграл сходится.
4. 
следовательно, интеграл сходится и равен 
.
Очевидно следующее утверждение, которое мы сформулируем для интеграла с бесконечным верхним пределом: сходится тогда и только тогда, когда для любого , удовлетворяющего неравенству 
, сходится интеграл 
(док-во: так как при 
по свойству аддитивности 
, и 
от не зависит, то конечный предел при для интеграла в левой части существует тогда и только тогда, когда существует конечный предел для интеграла в правой части равенства).
12.1.2. Формула Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла. В приведённых примерах мы сначала вычисляли с помощью первообразной функции определённый интеграл по конечному промежутку, а затем выполняли предельный переход. Объединим два этих действия в одной формуле. Символом 
будем обозначать 
; символом 
- соответственно, 
; тогда можно записать 
, 
, 
, подразумевая в каждом из этих случаев существование и конечность соответствующих пределов. Теперь решения примеров выглядят более просто: 
- интеграл сходится; 
- интеграл расходится.
Для несобственных интегралов применимы формулы интегрирования по частям и замены переменной: 
; при замене переменной несобственный интеграл может преобразовываться в собственный. Так, например, вычислим интеграл: 
. Пусть 
, 
; если 
, то 
; если 
то 
; 
Поэтому 
(это уже собственный интеграл) = 
.
12.1.3. Признаки сравнения для неотрицательных функций. В этом разделе мы будем предполагать, что все подынтегральные функции неотрицательны на всей области определения. До сих пор мы определяли сходимость интеграла, вычисляя его: если существует конечный предел первообразной при соответствующем стремлении ( или ), то интеграл сходится, в противном случае - расходится. При решении практических задач, однако, важно в первую очередь установить сам факт сходимости, и только затем вычислять интеграл (к тому же первообразная в практических задачах часто не выражается через элементарные функции). Сформулируем и докажем ряд теорем, которые позволяют устанавливать сходимость и расходимость несобственных интегралов от неотрицательных функций, не вычисляя их.
12.1.3.1. Признак сравнения. Пусть функции и 
интегрируемы по любому отрезку и при 
удовлетворяют неравенствам 
. Тогда:
если сходится интеграл 
, то сходится интеграл ;
если расходится интеграл , то расходится интеграл
(эти утверждения имеют простой смысл: если сходится интеграл от большей функции, то сходится интеграл от меньшей функции; если расходится интеграл от меньшей функции, то расходится интеграл от большей функции; в случаях, когда сходится интеграл от меньшей функции или расходится интеграл от большей функции, никаких выводов о сходимости второго интеграла сделать нельзя).
Док-во: если 
, 
, то функции 
и 
- монотонно возрастающие функции верхнего предела (следствие свойств аддитивности и интегрирования неравенств). Монотонно возрастающая функция имеет конечный предел тогда и только тогда, когда она ограничена сверху. Пусть сходится. 
ограничена 
, 
ограничена, т.е. сходится. Пусть расходится 
неограничена неограничена, т.е. расходится.
Примеры: Исследовать на сходимость интегралы 5. 
. Функция 
не имеет первообразной, выражающейся через элементарные функции, поэтому исследовать сходимость с помощью предельного перехода невозможно. При 
имеет место 
; интеграл 
сходится 
сходится сходится.
6. 
. При 
; интеграл 
расходится 
расходится расходится.
В качестве "стандартного" интеграла, с которым сравнивается данный, обычно берётся интеграл типа 
, часто называемый интегралом Дирихле. Этот интеграл сходится, если 
, и расходится, если 
: 
Примеры:
7. 
. На всём промежутке интегрирования 
; интеграл 
сходится (
), поэтому исходный интеграл сходится;
8. 
. Здесь 
при 
, 
расходится (
),поэтому исходный интеграл расходится;
9. 
. Здесь сравнить подынтегральную функцию с какой-либо степенью 
невозможно, так как числитель - неограниченная функция, поэтому рассуждаем по-другому. При 
- бесконечно большая низшего порядка по сравнению с любой положительной степенью , поэтому 
ограниченная функция, поэтому 
, интеграл от большей функции сходится, следовательно, исходный интеграл тоже сходится;
10. 
. На всём промежутке интегрирования 
(отбросив бесконечно большие низших порядков в числителе и знаменателе, мы увеличили числитель и уменьшили знаменатель); интеграл 
сходится, поэтому исходный интеграл сходится.
Теперь рассмотрим 
. Понятно, что бесконечно большие низших порядков в числителе и знаменателе не влияют на сходимость интеграла; в то же время, отбросив их, мы уменьшим подынтегральную функцию, а из сходимости интеграла от меньшей функции не следует сходимость интеграла от большей функции. Можно рассуждать так: при достаточно больших выполняются неравенства 
, поэтому 
и т.д., однако при решении таких задач проще применить другой признак сравнения - предельный.
12.1.3.2. Признак сравнения в предельной форме. Пусть неотрицательные функции и интегрируемы по любому отрезку и пусть существует конечный 
. Тогда несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно.
Док-во. Так как функции неотрицательны, то 
. По определению предела для 
существует такое значение 
, что при 
выполняется 
. Дальше рассуждения простые: пусть 
; если сходится , то сходится 
, тогда, по теореме сравнения, сходится 
сходится 
сходится. Если расходится , то расходится , тогда, по теореме сравнения, расходится 
расходится расходится. Случаи, когда сходится или расходится , рассмотреть самостоятельно.
Сравнение интеграла со "стандартным" интегралом в предельной форме позволяет сформулировать такое правило: если при неотрицательная функция - бесконечно малая порядка малости выше первого по сравнению с 
, то сходится; если не является бесконечно малой или имеет порядок малости единица или ниже, то интеграл расходится. Примеры:
11. 
. При 
эквивалентна функции 
, поэтому интеграл сходится.
12. 
. При 
эквивалентна функции 
, поэтому интеграл расходится.
13. 
. При 
эквивалентна функции , поэтому интеграл расходится.
14. 
. При 
эквивалентна функции 
, поэтому интеграл расходится.
12.1.4. Абсолютная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку. В предыдущем разделе рассматривались интегралы от знакоположительных (знакопостоянных) функций; мы убедились, что для таких несобственных интегралов существуют хорошие методы исследования их сходимости. Естественен вопрос: нельзя ли свести исследование интеграла от произвольной функции к исследованию интеграла от положительной функции 
? Можно показать, что если сходится интеграл 
, то обязательно сходится интеграл (идея доказательства: разобьем отрезок 
на два множества, 
и 
, т.е. к первому множеству отнесены точки, в которых функция неотрицательна, ко второму - в которых функция отрицательна. Тогда 
, 
. В последней сумме оба слагаемые - монотонно возрастающие с ростом , ограниченные сверху, следовательно, имеющие конечный предел при . Отсюда следует, что имеет конечный предел и предыдущая сумма). Обратное утверждение неверно, т.е. при сходимости интеграла интеграл может расходиться. Введём важное понятие абсолютной сходимости.
Опр. 12.1.4. Если сходится интеграл , то интеграл называется сходящимся абсолютно. Если сходится интеграл , а интеграл расходится, то интеграл называется сходящимся условно.
Примеры исследования интегралов на абсолютную сходимость:
15. 
. 
; интеграл от большей функции сходится, следовательно, 
сходится, следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно.
16. 
. 
, первый множитель, 
, стремится к нулю при , следовательно, ограничен: 
, интеграл от последней функции сходится, следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно.
Приведённые примеры показывают, что переход от к и применение к последнему интегралу методов исследования на сходимость несобственных интегралов от неотрицательных функций, в случае его сходимости, позволяет сделать вывод и о сходимости (притом, абсолютной) исходного интеграла. Если же интеграл от 
расходится, решение задач значительно усложняется. Пример: исследовать на сходимость интеграл 
.
1. Докажем, что этот интеграл сходится. Интегрируем его по частям: 
.
Для последнего интеграла 
, т.е. он сходится абсолютно, следовательно, исходный интеграл сходится.
2. Докажем, что для исходного интеграла абсолютной сходимости нет, т.е. что 
расходится. Так как 
, то 
, для последнего интеграла, по доказанному выше, существует конечный предел при , для предыдущего - нет, следовательно, расходится.
Вывод - исходный интеграл сходится условно.
Установить условную сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку при отсутствии абсолютной сходимости позволяют два следующих признака:
признак сходимости Абеля: пусть функции и определены в промежутке 
, причём 1. интегрируема в этом промежутке, т.е. интеграл сходится (условно или абсолютно);
"37 Российские базы данных интерактивного доступа" - тут тоже много полезного для Вас.
2. монотонна и ограничена: 
.
Тогда интеграл 
сходится.
признак сходимости Дирихле: 1. пусть функция интегрируема в любом конечном промежутке , и интеграл по этому промежутку ограничен (как функция верхнего предела ): 
;
2. монотонно стремится к нулю при : 
.
Тогда интеграл сходится.
Применим, например, признак Дирихле к . Здесь 
, 
, условия признака выполнены, поэтому интеграл сходится условно.
