Непрерывные функции
Непрерывные функции
Понятие непрерывной функции в векторном случае внешне также ничем не отличается от понятия непрерывности, известного из одномерного анализа.
Определение 2.12. Функция 
называется непрерывной в точке 
(принадлежащей области определения функции), если для любого положительного 
существует такое 
(зависящее от ), что как только 
, так 
.
Сопоставляя определение непрерывности в точке с определением предела в точке, немедленно получим
Утверждение 2.6. Функция 
непрерывна в точке тогда и только тогда, когда 
.
Таким образом непрерывность функции в точке означает, во-первых, существование предела функции в этой точке и, во-вторых, совпадение его со значением функции в этой точке.
Функции из примеров предыдущего параграфа не являются непрерывными в точке 
.
Функция 
непрерывна в каждой точке своей области определения, которой является вся плоскость.
Функция 
не определена в точке , и поэтому не может быть в ней непрерывной, хотя имеет предел в этой точке (какой?). Доопределив функцию в точке так, чтобы ее значение совпало со значением предела, получим уже непрерывную в данной точке функцию.
Бесплатная лекция: "Целевая аудитория рекламной кампании" также доступна.
Определение 2.13. Если функция не является непрерывной в точке , то такую точку называют точкой разрыва функции .
Для функции 
точкой разрыва будет любая точка сферы 
. Тем самым можно говорить о поверхностях, линиях разрыва некоторой функции. Конечно, совершенно не обязательно, чтобы множество точек разрыва функции было связным. Так у функции 
множество точек разрыва составляет множество всех точек, лежащих на гиперболе 
и множество всех точек оси ординат.
Аналогично теореме 2.2 может быть доказан следующий результат:
Утверждение 2.7. Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда каждая ее координатная функция непрерывна в этой точке.
Определение 2.14. Если функция непрерывна в каждой точке некоторого множества, то она называется непрерывной в данном множестве.
Мы условимся говорить о функции как о непрерывной (без каких-либо уточняющих эпитетов), если она непрерывна во всей области определения.
