Дифференцируемые функции. Производная. Матрица Якоби

Дифференцируемые функции. Производная. Матрица Якоби

            Определение 2.15. Приращением функции  в точке  называется вектор , где  - вектор (называемый приращением аргумента в точке )такой, что точка  (вместе с самой точкой ) принадлежит области определения функции .

            Определение 2.16. Функция  называется дифференцируемой в точке  , если ее приращение в этой точке допускает представление в виде:

,                   (1)

где - линейный оператор типа , зависящий от точки , а норма вектора  бесконечно мала по сравнению с нормой вектора  , т.е.

                                                                              (2)

(или ).                                                               

            Линейный оператор  называется в этом случае производной функции в точке .

            На первый взгляд, определение дифференцируемости в векторном случае сложно и непонятно. Однако внимательный его анализ показывает, что по существу оно ничем не отличается от аналогичного определения одномерного анализа.

Рекомендуемые материалы

            Действительно, вспомним понятие дифференцируемости в точке в одномерном случае.

            Функция  называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке представимо в виде

            ,

где  - число, называемое производной функции  в точке , а  есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с .

            Таким образом, в векторном случае производная оказывается не числом, а линейным оператором (т.е. матрицей, если речь идет о конечномерных пространствах), а числовая функция  оказывается векторной функцией. Суть же того и другого понятия состоит в том, что дифференцируемость в точке означает возможность замены всего приращения функции в этой точке его линейной (по приращению аргумента) частью, причем совершаемая при такой замене ошибка бесконечно мала по сравнению с приращением аргумента. Но в одномерном случае линейная функция - это функция вида , где  - некоторое число, тогда как в векторном случае - это функция вида , где - линейный оператор.

            Дифференцируемое - это локально линейное.

            Если функция дифференцируема в точке, то ее приращение в этой точке приближенно можно заменить приращением «вдоль касательной» в этой точке (см. рис. 2.8). В одномерном случае выражение «вдоль касательной» имеет для нас вполне строгий, точный смысл: замена приращения функции в точке приращением вдоль касательной в этой точки означает замену приращения функции ее дифференциалом. Понятие касательной в многомерном случае будет уточнено позже, но суть его та же, что и в одномерном.

Рис. 2.8

Если функция линейна, т.е. представляет собой линейный оператор , то формула (1) даст в этом случае:

.

Т.е. для линейной функции ее приращение совпадает со своей линейной частью и оператор производной в каждой точке есть один и тот же оператор: линейный оператор, задающий эту функцию.

            Утверждение 2.8. Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

            Доказательство. В силу (1) и (2) для функции , дифференцируемой в точке ,

            ,

и согласно утверждению 2.7 функция непрерывна в точке .

            Обратное, однако, неверно. Например, функция непрерывна в точке , не будучи дифференцируемой в этой точке (почему?).

            Исследуем теперь структуру матрицы оператора , предполагая фиксированными базисы в  и  в .

            Рассмотрим приращение (1), положив , где  - вектор единичной нормы, а  - вещественное число.

            Имеем:

             С учетом линейности оператора  получим

                               (3)

            Деля обе части равенства (3) на  и, переходя к пределу при , в силу условия (2) будем иметь:

                                (4)

            Стоящий в (4) слева предел, всегда существующий при условии дифференцируемости функции в точке , называется производной функции в точке  по направлению  (подробнее: по направлению, задаваемому вектором ), и обозначается  .

            Если производная функции по некоторому направлению в точке существует, то говорят, что функция дифференцируема в данной точке по данному направлению.

            Итак, если функция дифференцируема в точке, то она имеет в этой точке производную по любому направлению.

            Обратное, однако, не выполняется. Предел в левой части (4) может существовать, но функция при этом не будет дифференцируема в данной точке (т.е. не будет определен линейный оператор  так, что имеет место (1) и (2) одновременно).

            Рассмотрим в качестве примера функцию , равную единице во всех точках параболы , кроме точки , а во всех остальных точках плоскости (включая и точку ) равную нулю. Ясно, что в точке  данная функция дифференцируема по любому направлению, и производная по любому направлению в этой точке равна нулю, но функция не будет даже непрерывна в точке  (почему?) и, следовательно, не будет и дифференцируема.

            Возьмем теперь в качестве вектора  один из базисных векторов .

            Тогда равенство (4) перепишется в виде:

                                               (5)

            Вспоминая определение матрицы линейного оператора (п. 1.9), мы видим, что в правой части (5) стоит вектор, столбец координат которого в базисе  является -ым столбцом матрицы линейного оператора  в выбранной паре базисов. Элемент  этого столбца есть предел

                                                             (6)

где  - -ая координатная функция функции .

            Предел (6) называется -ой частной производной функции  по переменной  в точке и обозначается .

            Эту производную будем называть также частной производной координатной функции  по переменной   в точке .

            Частную производную  можно представить также в виде:

,     (7)

где  - - ая координата точки ,  - -ая координата вектора , равная, очевидно,  (в предположении, что , где только -ая координата отлична от нуля).

            Числитель дроби, стоящей под знаком предела в (7), называется частным приращением функции  по переменной . Это приращение получается при изменении только -ой переменной на величину , тогда как остальные переменные остаются фиксированными. Поскольку координатные функции  - числовые функции векторного аргумента, мы можем утверждать следующее: частная производная числовой функции по некоторой переменной равна пределу отношения частного приращения функции по этой переменной к приращению самой переменной при стремлении последнего к нулю.

            Отсюда следует, что частную производную можно понимать так же, как обычную производную одномерного анализа при рассмотрении всех переменных функции, кроме одной, как констант; следовательно, и вся техника вычисления обычных производных переносится без существенных изменений на вычисление частных производных.

            С другой стороны, частная производная есть не что иное как производная по некоторому базисному направлению (направлению, задаваемому одним из базисных векторов).

            Следовательно, если функция дифференцируема в данной точке по любому направлению, то она имеет в этой точке все частные производные. Обратно неверно! Функция , равная нулю на осях координат (т.е. при   или ) и равная единице в остальных точках плоскости, имеет обе частные производные в начале координат, равные нулю (почему?), но не имеет производной по любому направлению, отличному от базисного, т.е. направления, задаваемого ортом или ортом (почему?).

            Итак, проанализировав структуру матрицы линейного оператора  производной функции в точке , мы пришли к выводу, что это матрица составленная из частных производных координатных функций по всем переменным. Эта матрица называется матрицей Якоби функции  в точке и обозначается (или иногда ):

           

            Определитель матрицы Якоби называется якобианом и обозначается  (или  ). Функция называется невырожденной в точке , если ее якобиан в этой точке отличен от нуля.

            Рассмотрим пример. Зададим функцию, определяющую преобразование полярных координат к декартовым:

           

            Вычисляя матрицу Якоби в произвольной точке , получим

            Определитель этой матрицы равен . Следовательно, преобразование, задаваемое такой функцией, вырождено только при .

            Итак, производная векторной функции в точке есть линейный оператор (или матрица). Переходя от точке к точке и вычисляя там производную, если она существует, получим функцию-матрицу, или функцию-оператор. Эта функция определена на векторах пространства , а значения принимает на множестве линейных операторов , которое - напомним (см. п. 1.7 ) - само является линейным пространством. Именно эту функцию и называют производной функцией (или просто производной) от исходной функции .

            Таким образом, если мы хотим по аналогии с одномерным случаем перейти от понятия производной функции в точке к понятию производной как некоторой функции, мы сталкиваемся с необходимостью рассматривать функции, принимающие значения на множестве линейных операторов (или матриц). Это существенно отличается от одномерного анализа. Если производная от функции  снова есть функция того же типа, то производная векторной функции  есть уже функция  такая, что для каждой точки , в которой функция дифференцируема, значение  есть линейный оператор, удовлетворяющий (1) и (2) одновременно.

            Резюмируем проведенный анализ в двух утверждениях. Первое дает необходимое условие дифференцируемости в терминах частных производных, второе - сводит вопрос о дифференцируемости векторной функции к вопросу о дифференцируемости ее координатных функций.

            Утверждение 2.9. Если функция дифференцируема в точке, то в этой точке определены все ее частные производные (т.е. определена матрица Якоби функции в данной точке).

Бесплатная лекция: "Особенности современной российской пресс-рекламы" также доступна.

            Утверждение 2.10. Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда в этой точке дифференцируемы все ее координатные функции.

            Доказательством утверждения 2.9 служит весь написанный выше вывод матрицы Якоби. Утверждение 2.10 предлагается доказать читателю по аналогии с теоремой 2.2 и утверждением 2.7.

            Легко также показать, что в векторном случае выполняются все обычные свойства производной, а именно:

1)  .

2)   (для любого вещественного ).

3)  Производная функции-константы есть нулевой оператор.