Нормированные векторные пространства

Нормированные векторные пространства

Пусть – векторное пространство. В этом пространстве каждому вектору можно поставить в соответствие число, по аналогии с тем, как, например, в эвклидовом пространстве каждой паре точек можно поставить в соответствие число, определяющее расстояние между ними. Аналогом расстояния в векторном пространстве  является понятие нормы вектора, ставящей в соответствие вектору  некоторое число, обозначаемое . Норма  вектора  обладает следующими свойствами:

1. для и ;

2.  для любого вектора  и любого числа ;

3.  для любых  - аксиома треугольника, или условие выпуклости.

В нормированном векторном пространстве можно определить расстояние между его элементами (векторами), удовлетворяющее всем аксиомам расстояния, по формуле: . Таким образом, любое нормированное векторное пространство  автоматически является метрическим пространством.

Пусть и - два нормированных векторных пространства над полем вещественных или комплексных чисел. Отображение  называется линейным, если

Если пространство конечно, то линейное отображениев удовлетворяет условию Липшица, а следовательно, равномерно непрерывно. В самом деле

Рекомендуемые материалы

Теорема Линейное отображение одного нормированного пространства в другое, непрерывное в нуле, непрерывно всюду и удовлетворяет условию  при всех ; кроме того, это отображение удовлетворяет условию Липшица, а значит, равномерно непрерывно.

Точная нижняя грань чисел k, с которыми выполняется неравенство , называется нормой линейного отображения и определяется следующим образом:

Отсюда следует, что для любого вектора : .

Множество  непрерывных линейных отображений векторного нормированного пространства  в подобное же пространство является нормированным векторным пространством (с нормой ). Если же пространство является полем скаляров (те), то  называется пространством линейных форм (или функционалов) на . Пространство непрерывных линейных форм называется сопряженным к и обозначается .

Следует иметь в виду, что если пространство  не конечномерно, то существуют линейные разрывные отображения.

Как уже говорилось выше, через норму в векторном пространстве можно определить понятие расстояния (метрики), а следовательно, можно рассматривать сходимость по метрике в построеном метрическом пространстве. Последовательность  в метрическом пространстве называется фундаментальной, если . Если любая фундаментальная последовательность сходится в этом пространстве, то пространство называется полным. Полное нормированное пространство называется банаховым.

Если  - нормированное векторное пространство, а - банахово пространство, то пространство  также банахово; в часности, банаховым будет и сопряженное к пространство .

Если  и  - нормированные векторные пространства с нормами  и , то на произведении  все нормы эквивалентны. Можно, например, на произведении пространств ввести любую из следующих норм:

Всякое линейное непрерывное отображение  задается единственным образом в виде: , где и  - линейные непрерывные отображения.

Функциональным пространством называют пространство, элементами которого являются функции. Пусть  и  – произвольные множества,  – множество всевозможных отображений  в . Если  является топологическим, метрическим или еще каким-либо пространством, то почти всегда и  можно сделать таковым же. Если, например,  и , то можно следующие суммы и произведения

 для ,

 для

принять за новые отображения  и , что превращает пространство  в векторное пространство. Если же  является нормированным векторным пространством, то пространство  можно сделать таковым же, если ввести в нем норму по формуле

,

где через  обозначена норма в , а через  – норма в ; через  мы обозначили множество ограниченных отображений  в .

Если   – банахово пространство, то нормированное векторное пространство  тоже оказывается банаховым.

Приведем пример линейного разрывного отображения. Пусть  – векторное пространство, составленное из полиномов , в котором введена норма

.

Нетрудно убедиться в том, что это определение нормы удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к норме. Рассмотрим произвольное отображение , такое, которое каждому полиному ставит в соответствие его значение в точке , т.е. . Это отображение линейно, т.к.  и . Чтобы убедиться, что оно разрывно (в нуле), рассмотрим последовательность полиномов вида . Поскольку , то  (по норме) в пространстве . Однако  и, следовательно,  при  . Отсюда следует, что отображение  разрывно в .

Перейдем теперь к определению меры Радона на компактном топологическом пространстве . Пусть  – пространство непрерывных скалярных функций  на ,  которое мы можем нормировать, положив. Поскольку непрерывная функция на компакте ограничена, то пространство  (как частный случай пространства ) является банаховым. Мерами Радона в пространстве  называются элементы  пространства , сопряженного к , т.е. меры Радона – это непрерывные линейные отображения пространства  в вещественную ось, ставящие в соответствие каждой функции  некоторые числа . Линейность отображения  означает, что

;

,

а непрерывность эквивалентна удовлетворению требования , где .

Примером меры Радона может служить, например, линейное отображение , где  – замкнутый интервал в . Нормой этой меры является число .

Еще пример: , где , , где  – вероятностная мера.

Мы определили меру Радона на компактных пространствах. Однако можно дать определение меры Радона и для более общих локально компактных пространств (т.е. пространств, каждая точка которых имеет окрестность, замыкание которой компактно, в частности, для замкнутых неограниченных множеств конечного евклидова пространства). Для этого требуется, однако, несколько сузить класс функций . Потребуем, чтобы эти функции имели компактный носитель, т.е. чтобы они, оставаясь непрерывными на всем локально компактном пространстве , обращались бы в нуль всюду вне некоторого компакта , причем компакта, зависящего от функции, а не общего для всех функций. Тогда мы можем дать следующее определение, обозначив через  множество непрерывных скалярных функций с компактным носителем, а через  – его подмножество, состоящее из функций, определенных на всем  и равных тождественно нулю на - , где  – фиксированный компакт в . Заметим, что  – это объединение пространств  по всем возможным компактным подмножествам  пространства .

Определение. Мерой Радона на локально компактном пространстве  называется линейная форма  на пространстве , непрерывная на каждом подпространстве , где  компакт в .

Если мера  такова, что ее , то ее можно рассматривать как вероятностную, причем пространство подобных мер будет банаховым пространством.

В теории вероятностей, как и в общей теории функций, используется несколько видов сходимости функций (случайных величин ). В зависимости от того или иного вида сходимости рассматривают разные формулировки закона больших чисел – одного из фундаментальных законов в теории вероятностей: слабого закона больших чисел и усиленного закона больших чисел.

Слабый закон больших чисел основан на следующем определении сходимости по вероятности: говорят, что  по вероятности, если для любого :

 при .

Вместе с этой лекцией читают "4.1. Заготовка, очистка и хранение семян".

В основе же формулировки усиленного закона больших чисел лежит понятие сходимости почти всюду (п.в.) [почти наверное (п.н.), с вероятностью единица]. Прежде чем дать определение этой сходимости, напомним, что множества Р-меры нуль определяются как множества , для которых . Говорят, что некоторое утверждение справедливо почти всюду на множестве  (или почти наверное, или с вероятностью 1), если оно справедливо для всех  за исключением (т.е. за исключением множества, имеющего нулевую вероятность). Говорят, что последовательность  почти всюду, если

,

т.е., если последовательность  может не сходиться к  разве что на множестве  P-меры нуль. Подобную сходимость обозначают в виде .

Если учесть, что для сходимости  (с вероятностью 1) необходимо и достаточно, чтобы для любого :

 при ,

то, приняв это отношение за определение сходимости почти всюду и сравнив его с определением сходимости по вероятности, нетрудно заметить, что если последовательность  сходится к  почти всюду, то она тем более сходится и по вероятности.