Нормированные векторные пространства
Нормированные векторные пространства
Пусть – векторное пространство. В этом пространстве каждому вектору можно поставить в соответствие число, по аналогии с тем, как, например, в эвклидовом пространстве каждой паре точек можно поставить в соответствие число, определяющее расстояние между ними. Аналогом расстояния в векторном пространстве является понятие нормы вектора, ставящей в соответствие вектору некоторое число, обозначаемое . Норма вектора обладает следующими свойствами:
1. для и ;
2. для любого вектора и любого числа ;
3. для любых - аксиома треугольника, или условие выпуклости.
В нормированном векторном пространстве можно определить расстояние между его элементами (векторами), удовлетворяющее всем аксиомам расстояния, по формуле: . Таким образом, любое нормированное векторное пространство автоматически является метрическим пространством.
Пусть и - два нормированных векторных пространства над полем вещественных или комплексных чисел. Отображение называется линейным, если
Если пространство конечно, то линейное отображениев удовлетворяет условию Липшица, а следовательно, равномерно непрерывно. В самом деле
Рекомендуемые материалы
Теорема Линейное отображение одного нормированного пространства в другое, непрерывное в нуле, непрерывно всюду и удовлетворяет условию при всех ; кроме того, это отображение удовлетворяет условию Липшица, а значит, равномерно непрерывно.
Точная нижняя грань чисел k, с которыми выполняется неравенство , называется нормой линейного отображения и определяется следующим образом:
Отсюда следует, что для любого вектора : .
Множество непрерывных линейных отображений векторного нормированного пространства в подобное же пространство является нормированным векторным пространством (с нормой ). Если же пространство является полем скаляров (те), то называется пространством линейных форм (или функционалов) на . Пространство непрерывных линейных форм называется сопряженным к и обозначается .
Следует иметь в виду, что если пространство не конечномерно, то существуют линейные разрывные отображения.
Как уже говорилось выше, через норму в векторном пространстве можно определить понятие расстояния (метрики), а следовательно, можно рассматривать сходимость по метрике в построеном метрическом пространстве. Последовательность в метрическом пространстве называется фундаментальной, если . Если любая фундаментальная последовательность сходится в этом пространстве, то пространство называется полным. Полное нормированное пространство называется банаховым.
Если - нормированное векторное пространство, а - банахово пространство, то пространство также банахово; в часности, банаховым будет и сопряженное к пространство .
Если и - нормированные векторные пространства с нормами и , то на произведении все нормы эквивалентны. Можно, например, на произведении пространств ввести любую из следующих норм:
Всякое линейное непрерывное отображение задается единственным образом в виде: , где и - линейные непрерывные отображения.
Функциональным пространством называют пространство, элементами которого являются функции. Пусть и – произвольные множества, – множество всевозможных отображений в . Если является топологическим, метрическим или еще каким-либо пространством, то почти всегда и можно сделать таковым же. Если, например, и , то можно следующие суммы и произведения
для ,
для
принять за новые отображения и , что превращает пространство в векторное пространство. Если же является нормированным векторным пространством, то пространство можно сделать таковым же, если ввести в нем норму по формуле
,
где через обозначена норма в , а через – норма в ; через мы обозначили множество ограниченных отображений в .
Если – банахово пространство, то нормированное векторное пространство тоже оказывается банаховым.
Приведем пример линейного разрывного отображения. Пусть – векторное пространство, составленное из полиномов , в котором введена норма
.
Нетрудно убедиться в том, что это определение нормы удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к норме. Рассмотрим произвольное отображение , такое, которое каждому полиному ставит в соответствие его значение в точке , т.е. . Это отображение линейно, т.к. и . Чтобы убедиться, что оно разрывно (в нуле), рассмотрим последовательность полиномов вида . Поскольку , то (по норме) в пространстве . Однако и, следовательно, при . Отсюда следует, что отображение разрывно в .
Перейдем теперь к определению меры Радона на компактном топологическом пространстве . Пусть – пространство непрерывных скалярных функций на , которое мы можем нормировать, положив. Поскольку непрерывная функция на компакте ограничена, то пространство (как частный случай пространства ) является банаховым. Мерами Радона в пространстве называются элементы пространства , сопряженного к , т.е. меры Радона – это непрерывные линейные отображения пространства в вещественную ось, ставящие в соответствие каждой функции некоторые числа . Линейность отображения означает, что
;
,
а непрерывность эквивалентна удовлетворению требования , где .
Примером меры Радона может служить, например, линейное отображение , где – замкнутый интервал в . Нормой этой меры является число .
Еще пример: , где , , где – вероятностная мера.
Мы определили меру Радона на компактных пространствах. Однако можно дать определение меры Радона и для более общих локально компактных пространств (т.е. пространств, каждая точка которых имеет окрестность, замыкание которой компактно, в частности, для замкнутых неограниченных множеств конечного евклидова пространства). Для этого требуется, однако, несколько сузить класс функций . Потребуем, чтобы эти функции имели компактный носитель, т.е. чтобы они, оставаясь непрерывными на всем локально компактном пространстве , обращались бы в нуль всюду вне некоторого компакта , причем компакта, зависящего от функции, а не общего для всех функций. Тогда мы можем дать следующее определение, обозначив через множество непрерывных скалярных функций с компактным носителем, а через – его подмножество, состоящее из функций, определенных на всем и равных тождественно нулю на - , где – фиксированный компакт в . Заметим, что – это объединение пространств по всем возможным компактным подмножествам пространства .
Определение. Мерой Радона на локально компактном пространстве называется линейная форма на пространстве , непрерывная на каждом подпространстве , где компакт в .
Если мера такова, что ее , то ее можно рассматривать как вероятностную, причем пространство подобных мер будет банаховым пространством.
В теории вероятностей, как и в общей теории функций, используется несколько видов сходимости функций (случайных величин ). В зависимости от того или иного вида сходимости рассматривают разные формулировки закона больших чисел – одного из фундаментальных законов в теории вероятностей: слабого закона больших чисел и усиленного закона больших чисел.
Слабый закон больших чисел основан на следующем определении сходимости по вероятности: говорят, что по вероятности, если для любого :
при .
Вместе с этой лекцией читают "4.1. Заготовка, очистка и хранение семян".
В основе же формулировки усиленного закона больших чисел лежит понятие сходимости почти всюду (п.в.) [почти наверное (п.н.), с вероятностью единица]. Прежде чем дать определение этой сходимости, напомним, что множества Р-меры нуль определяются как множества , для которых . Говорят, что некоторое утверждение справедливо почти всюду на множестве (или почти наверное, или с вероятностью 1), если оно справедливо для всех за исключением (т.е. за исключением множества, имеющего нулевую вероятность). Говорят, что последовательность почти всюду, если
,
т.е., если последовательность может не сходиться к разве что на множестве P-меры нуль. Подобную сходимость обозначают в виде .
Если учесть, что для сходимости (с вероятностью 1) необходимо и достаточно, чтобы для любого :
при ,
то, приняв это отношение за определение сходимости почти всюду и сравнив его с определением сходимости по вероятности, нетрудно заметить, что если последовательность сходится к почти всюду, то она тем более сходится и по вероятности.