Популярные услуги

Главная » Лекции » Математика » Различные темы математики » Нормированные векторные пространства

Нормированные векторные пространства

2021-03-09СтудИзба

Нормированные векторные пространства

Пусть – векторное пространство. В этом пространстве каждому вектору можно поставить в соответствие число, по аналогии с тем, как, например, в эвклидовом пространстве каждой паре точек можно поставить в соответствие число, определяющее расстояние между ними. Аналогом расстояния в векторном пространстве  является понятие нормы вектора, ставящей в соответствие вектору  некоторое число, обозначаемое . Норма  вектора  обладает следующими свойствами:

1. для и ;

2.  для любого вектора  и любого числа ;

3.  для любых  - аксиома треугольника, или условие выпуклости.

В нормированном векторном пространстве можно определить расстояние между его элементами (векторами), удовлетворяющее всем аксиомам расстояния, по формуле: . Таким образом, любое нормированное векторное пространство  автоматически является метрическим пространством.

Пусть и - два нормированных векторных пространства над полем вещественных или комплексных чисел. Отображение  называется линейным, если

Если пространство конечно, то линейное отображениев удовлетворяет условию Липшица, а следовательно, равномерно непрерывно. В самом деле

Рекомендуемые материалы

Теорема Линейное отображение одного нормированного пространства в другое, непрерывное в нуле, непрерывно всюду и удовлетворяет условию  при всех ; кроме того, это отображение удовлетворяет условию Липшица, а значит, равномерно непрерывно.

Точная нижняя грань чисел k, с которыми выполняется неравенство , называется нормой линейного отображения и определяется следующим образом:

Отсюда следует, что для любого вектора : .

Множество  непрерывных линейных отображений векторного нормированного пространства  в подобное же пространство является нормированным векторным пространством (с нормой ). Если же пространство является полем скаляров (те), то  называется пространством линейных форм (или функционалов) на . Пространство непрерывных линейных форм называется сопряженным к и обозначается .

Следует иметь в виду, что если пространство  не конечномерно, то существуют линейные разрывные отображения.

Как уже говорилось выше, через норму в векторном пространстве можно определить понятие расстояния (метрики), а следовательно, можно рассматривать сходимость по метрике в построеном метрическом пространстве. Последовательность  в метрическом пространстве называется фундаментальной, если . Если любая фундаментальная последовательность сходится в этом пространстве, то пространство называется полным. Полное нормированное пространство называется банаховым.

Если  - нормированное векторное пространство, а - банахово пространство, то пространство  также банахово; в часности, банаховым будет и сопряженное к пространство .

Если  и  - нормированные векторные пространства с нормами  и , то на произведении  все нормы эквивалентны. Можно, например, на произведении пространств ввести любую из следующих норм:

Всякое линейное непрерывное отображение  задается единственным образом в виде: , где и  - линейные непрерывные отображения.

Функциональным пространством называют пространство, элементами которого являются функции. Пусть  и  – произвольные множества,  – множество всевозможных отображений  в . Если  является топологическим, метрическим или еще каким-либо пространством, то почти всегда и  можно сделать таковым же. Если, например,  и , то можно следующие суммы и произведения

 для ,

 для

принять за новые отображения  и , что превращает пространство  в векторное пространство. Если же  является нормированным векторным пространством, то пространство  можно сделать таковым же, если ввести в нем норму по формуле

,

где через  обозначена норма в , а через  – норма в ; через  мы обозначили множество ограниченных отображений  в .

Если   – банахово пространство, то нормированное векторное пространство  тоже оказывается банаховым.

Приведем пример линейного разрывного отображения. Пусть  – векторное пространство, составленное из полиномов , в котором введена норма

.

Нетрудно убедиться в том, что это определение нормы удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к норме. Рассмотрим произвольное отображение , такое, которое каждому полиному ставит в соответствие его значение в точке , т.е. . Это отображение линейно, т.к.  и . Чтобы убедиться, что оно разрывно (в нуле), рассмотрим последовательность полиномов вида . Поскольку , то  (по норме) в пространстве . Однако  и, следовательно,  при  . Отсюда следует, что отображение  разрывно в .

Перейдем теперь к определению меры Радона на компактном топологическом пространстве . Пусть  – пространство непрерывных скалярных функций  на ,  которое мы можем нормировать, положив. Поскольку непрерывная функция на компакте ограничена, то пространство  (как частный случай пространства ) является банаховым. Мерами Радона в пространстве  называются элементы  пространства , сопряженного к , т.е. меры Радона – это непрерывные линейные отображения пространства  в вещественную ось, ставящие в соответствие каждой функции  некоторые числа . Линейность отображения  означает, что

;

,

а непрерывность эквивалентна удовлетворению требования , где .

Примером меры Радона может служить, например, линейное отображение , где  – замкнутый интервал в . Нормой этой меры является число .

Еще пример: , где , , где  – вероятностная мера.

Мы определили меру Радона на компактных пространствах. Однако можно дать определение меры Радона и для более общих локально компактных пространств (т.е. пространств, каждая точка которых имеет окрестность, замыкание которой компактно, в частности, для замкнутых неограниченных множеств конечного евклидова пространства). Для этого требуется, однако, несколько сузить класс функций . Потребуем, чтобы эти функции имели компактный носитель, т.е. чтобы они, оставаясь непрерывными на всем локально компактном пространстве , обращались бы в нуль всюду вне некоторого компакта , причем компакта, зависящего от функции, а не общего для всех функций. Тогда мы можем дать следующее определение, обозначив через  множество непрерывных скалярных функций с компактным носителем, а через  – его подмножество, состоящее из функций, определенных на всем  и равных тождественно нулю на - , где  – фиксированный компакт в . Заметим, что  – это объединение пространств  по всем возможным компактным подмножествам  пространства .

Определение. Мерой Радона на локально компактном пространстве  называется линейная форма  на пространстве , непрерывная на каждом подпространстве , где  компакт в .

Если мера  такова, что ее , то ее можно рассматривать как вероятностную, причем пространство подобных мер будет банаховым пространством.

В теории вероятностей, как и в общей теории функций, используется несколько видов сходимости функций (случайных величин ). В зависимости от того или иного вида сходимости рассматривают разные формулировки закона больших чисел – одного из фундаментальных законов в теории вероятностей: слабого закона больших чисел и усиленного закона больших чисел.

Слабый закон больших чисел основан на следующем определении сходимости по вероятности: говорят, что  по вероятности, если для любого :

 при .

Вместе с этой лекцией читают "4.1. Заготовка, очистка и хранение семян".

В основе же формулировки усиленного закона больших чисел лежит понятие сходимости почти всюду (п.в.) [почти наверное (п.н.), с вероятностью единица]. Прежде чем дать определение этой сходимости, напомним, что множества Р-меры нуль определяются как множества , для которых . Говорят, что некоторое утверждение справедливо почти всюду на множестве  (или почти наверное, или с вероятностью 1), если оно справедливо для всех  за исключением (т.е. за исключением множества, имеющего нулевую вероятность). Говорят, что последовательность  почти всюду, если

,

т.е., если последовательность  может не сходиться к  разве что на множестве  P-меры нуль. Подобную сходимость обозначают в виде .

Если учесть, что для сходимости  (с вероятностью 1) необходимо и достаточно, чтобы для любого :

 при ,

то, приняв это отношение за определение сходимости почти всюду и сравнив его с определением сходимости по вероятности, нетрудно заметить, что если последовательность  сходится к  почти всюду, то она тем более сходится и по вероятности.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее