Достоинства факторных планов
Глава 11 Факторные планы экспериментов
Для проведения эксперимента по плану необходимо выбрать определённое число значений (или вариантов) каждой влияющей на отклик переменной и затем выполнять опыты при всех планируемых комбинаций этих значений. В этой главе обсуждаются планы, разрабатываемые только для двух вариантов каждой контролируемой экспериментатором переменной.
11.1. Достоинства факторных планов
Создание пригодной для анализа эксперимента статистической модели, путём выбора её функции и принятия допущений о распределениях её случайных переменных, является творческим процессом. Принимая во внимание всё известное об изучаемой зависимости, в этом процессе необходимо свободно оперировать имеющимися данными, делая сравнения, ища сходства, различия, тенденции и так далее. Планирование экспериментов позволяет в значительной степени облегчить этот процесс.
На Рис.11.1(а) план эксперимента с тремя влияющими на отклик переменными изображён графически. По этому плану переменная Температура устанавливается в опытах при трёх значениях, а переменная Давление - на двух значениях. Переменная Катализатор нечисловая и используется в двух вариантах. Поэтому для проведения эксперимента по этому плану выбраны следующие их значения и варианты:
Температура (три значения: 180°С, 190°С, 200°С)
Давление (два значения: 483kРа, 621kРа)
Катализатор (два варианта: тип А, тип В).
Общее число опытов эксперимента получается в результате умножения используемых чисел значений и вариантов переменных, то есть 3х2х2=3х22=12.
Рекомендуемые материалы
Рис.11.1. Факторный план 3х2х2: (а) Пункты плана означают опыты планируемого эксперимента. (б) Наблюдаемые значения отклика в 12 пунктах плана являются результатами опытов эксперимента.
В этом примере используются две числовые переменные Температура и Давление, а также одна нечисловая переменная Катализатор, имеющая два варианта: тип А и тип В. Ввиду нечислового характера такой переменной и связанных с этим трудностей в принятии решения о её вариантах, вводятся понятия фактор и уровень. Факторами называют числовые и нечисловые переменные. Таким образом, Катализатор, Давление и Температура являются факторами. Варианты, в которых отдельный фактор участвует в эксперименте, называют уровнями этого фактора. Таким образом, катализатор типа А является одним уровнем фактора Катализатор, а его тип В - другой уровень этого фактора. Использование понятия фактор вместо переменной указывает на то, что фактор может не иметь числовых значений или означать присутствие и отсутствие чего-то реально существующего. Понятие переменная используется для фактора, который можно представить в числовом виде. Следовательно, в рассматриваемом эксперименте факторы Давление и Температура можно считать переменными, а фактор Катализатор не является числовой переменной. Понятие уровень указывает на то, что в эксперименте представлять фактор могут просто выбранные его варианты без числовых значений. В этом контексте типы А и В являются вариантами фактора Катализатор или его уровнями.
Мышлением в понятиях уровней факторов преодолевается много трудностей, связанных с использованием нечисловых факторов. Уровни нечисловых факторов не имеют числового выражения, но они все равно могут рассматриваться в эксперименте как варианты этого фактора. И даже, когда разные варианты числовой переменной не могут быть рационально разделены по значениям, то концепция уровней позволяет оценить воздействия, которые фактор, находясь на разных уровнях, оказывает на изучаемые переменные отклика.
Составление полного факторного плана эксперимента с р факторами заключается в выборе числа n1 конкретных уровней первого фактора, числа n2 уровней второго фактора и так далее до числа nр уровней р-го фактора. Каждый опыт проводится при задаваемом в плане эксперимента определённом наборе уровней р факторов. Поэтому, посредством перечисления всех возможных наборов, содержащих выбранные уровни р факторов, в плане получается общее число n наборов уровней факторов равное произведению чисел уровней каждого фактора в виде n1xn2x…xnр=n.
Пусть числа на Рис.11.1(б) являются измеренными значениями переменных отклика, полученными в результате проведения опытов при соответствующих наборах уровней факторов. При этом просто посредством рассмотрения рисунка можно сделать много разных информативных сравнений. Например, допустим, что ошибка эксперимента была малой (скажем, среднеквадратичное отклонение s было меньше 1). Тогда сравнения по горизонтали (7→8→10), (6→8→11), (3→5→5), (3→4→5) показывают, что для выбранных уровней температуры её увеличение вызывает увеличение переменных отклика.
Сравнения по вертикали (7→6), (8→8), (10→11), (3→3), (5→4), (5→5) показывают, что для двух выбранных уровней давления этот фактор мало влияет на переменные отклика. Шесть сравнений значений переменных отклика, получаемых при двух типах катализаторов, показывают, что, при выбранных уровнях остальных факторов, тип В катализатора дает меньшие значения переменных отклика, чем тип А. Кроме того, при увеличении температуры, увеличение переменных отклика происходит меньше с катализатором типа В, чем с А, что указывает на существование взаимодействия факторов (Температура)х(Катализатор).
Ещё посмотрите лекцию "11. Понятия и принципы организации" по этой теме.
В приведённом примере факторный план используется для изучения двух числовых факторов (Температура и Давление) и одного нечислового фактора (Катализатор). Эта книга в большей степени посвящена изучению числовых факторов.
Факторные планы обладают следующими полезными свойствами:
Ø Позволяют делать сравнения значений переменных отклика для разных уровней исследуемых факторов и, таким образом, облегчают создание модели и её анализ.
Ø Обеспечивают получение таких результатов оценки параметров модели, чьи дисперсии малы или почти также малы как те, которые получаются посредством любого другого плана, занимающего то же пространство уровней факторов.
Ø Обеспечивают выполнение простых расчётов при анализе модели.
В результате ошибочного мнения, что только простота расчетов является причиной их использования, иногда считают, что использовать факторные планы необязательно, так как в настоящее время на компьютерах легко делаются сложные расчеты. Спорным может быть также и то, что теперь могут быть построены оптимальные планы, которые не представляют собой хорошие структуры, но, тем не менее, если модель предполагается известной, также дадут высокоэффективные результаты оценки. Однако этот довод обесценивает важность предоставления возможности видеть структуры данных эксперимента на стадии разработки модели [Box, Draper (2007) стр. 93].
