Двухуровневые факторные планы

11.2. Двухуровневые факторные планы

В многофакторном экспериментировании особо важными являются планы, по которым каждый фактор во всех опытах эксперимента устанавливается только на двух уровнях. В разделе 6.2 показано, что, если оценка параметров модели делается по результатам проведённого по такому плану эксперимента, то её результаты имеют минимальную дисперсию. Такие планы особенно полезны на начальной стадии моделирования, когда об исследуемой зависимости известно мало и адекватная её модель еще только должна быть построена. Далее будет показано, что начальный двухуровневый факторный план может быть исходным в разработке многих других видов планов.

Двухуровневые факторные планы являются особо важными [Box с соавт. (2005) стр.173], так как:

ü Для выяснения влияния на переменные отклика каждого из изучаемых факторов по этим планам требуется поставить относительно небольшое число опытов.

ü Объяснение наблюдений, полученных в результате выполнения экспериментов по таким планам, может осуществляться посредством использования в основном здравого смысла, элементарной арифметики и компьютерной графики.

ü Когда используются числовые факторы, то в малых диапазонах их изменений с использованием этих планов строятся статистические линейные модели, определяющие перспективное направление дальнейшего экспериментирования.

ü Когда необходимо более тщательное исследование отклика в выбранной локальной области уровней факторов, то такие планы могут быть соответствующим образом увеличены. Этот процесс увеличения называется последовательной компоновкой.

ü Эти планы формируют основу обсуждаемых в следующей главе дробных факторных планов, в которых используется только тщательно выбранная часть полного факторного плана. В многофакторных экспериментальных исследованиях такие планы особенно ценны для отбора важных факторов из большого их числа. Дробные факторные планы также являются ценными исходными блоками последовательной компоновки планов экспериментов.

ü Факторные планы и соответствующие дробные факторные планы естественно удовлетворяют потребности последовательной стратегии - важнейшей особенности научного метода.

Рекомендуемые материалы

Для начального пояснения смоделируем статистически зависимость, описывающую работу рассмотренного в разделе 2.5 пневматического прибора по схеме на Рис.2.5.1. Её модель описывает зависимость наблюдаемых в опытах переменных отклика, то есть величин давления сжатого воздуха в рабочей камере, от влияющих на них факторов, таких как площадь проходного сечения дросселя сопло-заслонка, абсолютное давление сжатого воздуха на входе прибора и площадь проходного сечения входного дросселя. Давление в рабочей камере находится под воздействием трёх контролируемых в планируемом эксперименте факторов. Каждый из них устанавливается при меньшем и большем значениях или на нижнем и верхнем уровнях. Значения этих уровней показаны в таблице 11.2.1.

Таблица 11.2.1. Факторы плана эксперимента и их уровни

В разделе 7.5 показано, что удобно выполнять нормирование факторов так, чтобы получающиеся нормированные факторы х₁, х₂ и х₃ имели значения нижнего уровня равным –1, а верхнего уровня равным +1. Поэтому для данного примера нормированные уровни факторов рассчитывались по формуле (2.6.4) в виде

х₁=(ξ₁–0,754)/0,503, х₂=(ξ₂–0,248)/0,049, х₃=(ξ₃–0,817)/0,314.                 (11.2.1)

При этом заметим, что, в случае двухуровневых факторных планов, формула расчёта интервалов варьирования факторов упрощается и принимает вид S_j= (ξ_j+–ξ_j–)/2, где ξ_j+ - верхний уровень j-го фактора и ξ_j– - нижний его уровень. Основные уровни факторов в этом случае также находятся по упрощённой формуле =(ξ_j++ξ_j–)/2.

План 2³ (2х2х2) проведения эксперимента с использованием двух уровней факторов показан в таблице 11.2.2 с исходными и нормированными уровнями факторов, а также со значениями элементов вектора у переменных отклика (давление в рабочей камере), полученными в результате проведения опытов эксперимента по этому плану.

Таблица 11.2.2. План 2³ с факторами на двух уровнях и данные отклика

На Рис.11.2.1 восемь опытов эксперимента изображены в пространстве уровней трех факторов в виде вершин куба. В вершинах куба показаны значения переменных отклика, полученные в результате проведения опытов эксперимента. Геометрическое изображение факторного плана снова иллюстрирует его достоинства. При таком изображении можно сделать многие сравнения, которые очень просто понять. В частности, можно увидеть уменьшение значений переменных отклика при увеличении площади проходного сечения дросселя сопло-заслонка (х₁) и увеличение значений переменных отклика, происходящее с увеличением абсолютного давления воздуха на входе прибора (х₂) и площади проходного сечения входного дросселя (х₃).

Рис.11.2.1. Графическое изображение плана 2³ со значениями переменных отклика в кПа, а также с исходными уровнями и уровнями нормированных факторов.

В общем, двухуровневый план для р факторов состоит из всех 2^р опытов (пунктов плана) для наборов уровней факторов

[x₁, x₂,…, x_р]=[±1, ±1,…, ±1],                                  (11.2.2)

где все возможные комбинации значений ±1 берутся по очереди. Геометрически план состоит из вершин гиперкуба размерности р.

Для целей анализа уровни факторов в плане размещают в стандартном порядке. При этом опыты по такому плану тоже получаются размещёнными в стандартном порядке, но реально в эксперименте они выполняются в случайной последовательности. В таблице 11.2.2 уровни факторов плана эксперимента с пневматическим прибором показаны в стандартном порядке. Этот порядок размещения получается путём записи в столбце фактора х₁ чередующихся его уровней –1 и +1, затем в столбце фактора х₂ - чередующихся пар его уровней –1 –1 и +1 +1, в столбце фактора х₃ - чередующихся четырех его уровней –1 –1 –1 –1 и +1 +1 +1 +1 и так далее. В результате записи уровней в таком порядке вектор-столбцы уровней факторов становятся ортогональными друг другу.

Оценка воздействий факторов и их взаимодействий на отклик

Рассмотрим анализ результатов экспериментов выполняемых по двухуровневым факторным планам, как это делалось первыми разработчиками таких планов. Ими предложено оценивать воздействие используемого в эксперименте фактора на переменные отклика разностью между двумя усреднёнными значениями переменных отклика [Yates (1937)]. Эти усреднённые значения получаются, когда рассматриваемый фактор находится соответственно на верхнем и нижнем уровнях. Для примера рассмотрим расчёт результатов оценки воздействий факторов х₁, х₂ и х₃ на отклик. Из Рис.11.2.1 видно, что когда фактор х₁=+1, то значения переменных отклика получались 126, 155, 241 и 167, а когда фактор х₁=–1, то значения переменных отклика получались 189, 283, 295 и 198. Тогда, если результат оценки воздействия фактора х₁ обозначить буквой А, то он вычисляется так

А=(126+155+241+167)/4–(189+283+295+198)/4=–69.     (11.2.3)

Для факторов х₂ и х₃ аналогичные расчёты дают соответственно результаты оценки их воздействий

В=(283+295+241+155)/4–(189+198+167+126)/4=73,5     (11.2.4)

и

С=(295+241+198+167)/4–(189+283+155+126)/4=37.       (11.2.5)

Особо ценным достоинством экспериментов по двухуровневым многофакторным планам является то, что по их данным можно рассчитывать не только результаты оценки воздействий самих факторов на отклик, но также оценивать воздействия от взаимодействий между факторами. При этом можно использовать графическое изображение, которое объясняет метод оценки воздействий факторов и их взаимодействий на отклик для эксперимента по плану 2³ [Box с соавт. (2005) стр. 181].

Два фактора, например х₁ и х₃, считается, что оказывают воздействие на переменные отклика в результате их взаимодействия, если результаты оценки воздействий фактора х₁ получаются разными, когда фактор х₃ устанавливается на разных уровнях. В эксперименте с пневматическим прибором, если сначала ограничиться рассмотрением только первых четырёх опытов, в которых фактор х₃ находится на нижнем уровне, то, при условии х₃=–1, по результатам этих четырёх опытов результат А^– оценки воздействия фактора х₁ находится так

(А^–|х₃=–1)=(126+155)/2–(189+283)/2=–95,5,                     (11.2.6)

а для четырех остальных опытов, при условии х₃=+1, результат А⁺ оценки воздействия фактора х₁ находится в виде

(А⁺|х₃=+1)=(241+167)/2–(295+198)/2=–42,5.                     (11.2.7)

В итоге получаются разные результаты оценки воздействий фактора х₁, когда фактор х₃ устанавливается на двух разных уровнях.

Результат оценки воздействия от взаимодействия между факторами х₁ и х₃ находится как половина разности между результатом А⁺ оценки воздействия фактора х₁, при условии х₃=+1, и результатом А^– оценки воздействия фактора х₁, при условии х₃=–1. Обозначая АС результат оценки воздействия от взаимодействия факторов х₁ и х₃, получаем

АС=[(А⁺|х₃=+1)–(А^–|х₃=–1)]/2=(–42,5+95,5)/2=26,5.        (11.2.8)

В этом расчёте найденный результат оценки однозначен, так как изменение ролей факторов х₁ и х₃ не меняет значения результата оценки воздействия от их взаимодействия.

Упражнение. Вычислите [(С⁺|х₁=+1)–(С^–|х₁=–1)]/2 и покажите, что это дает такой же результат, который получен для АС.

Посредством аналогичных расчетов получаются и другие два результата оценки воздействий на отклик от взаимодействий двух факторов, такие как

АВ=[(А⁺|х₂=+1)–(А^–|х₂=–1)]/2= –22                                               (11.2.9)

и

ВС=[(B⁺|х₃=+1)–(B^–|х₃=–1)]/2= +12.                                               (11.2.10)

Кроме этого, результаты оценки воздействий на отклик от взаимодействия между факторами х₁ и х₂ могут быть различными при разных уровнях фактора х₃. Проверяя это можно вычислить и сравнить результаты оценки

(АВ^–|х₃= –1)=(155–283)/2–(126–189)/2=–32,5

и

(АВ⁺|х₃= +1)=(241–295)/2–(167–198)/2=–11,5.

Они получаются разными. Таким образом появляется воздействие от взаимодействия трёх факторов х₁, х₂ и х₃ Половина разности между этими значениями результатов АВ⁺ и АВ^– оценки является результатом АВС оценки воздействия от взаимодействия трёх факторов, то есть

АВС=[(АВ⁺|х₃=+1)–(АВ^–|х₃=–1)]/2=10,5.                          (11.2.11)

Упражнение. Покажите, что тот же результат получается, если определить результат АВС оценки воздействия от взаимодействия как половину разности между результатами оценки воздействий от взаимодействия между факторами х₂ и х₃, при уровнях х₁=+1 и х₁=–1, или как половину разности между результатами оценки воздействий от взаимодействия между факторами х₁ и х₃, при уровнях х₂=+1 и х₂=–1. Следовательно, результат оценки воздействия от взаимодействия трёх факторов АВС является тоже однозначным.

Использование контрастов при оценке воздействий

В общем, предложенный метод оценки воздействий факторов на отклик можно представить в виде таблицы 11.2.3. В ней у^T=[у₁, у₂, ..., у₈] - вектор значений переменных отклика в опытах эксперимента. Последовательность расчёта представлена в столбцах таблицы по этапам. Вычисления начинают на основе значений переменных отклика из столбца у путём выполнения операций, представленных в столбце Этап 1. Такие же операции выполняются в столбце Этап 2 на основе результатов столбца Этап 1 и в столбце Этап 3 на основе результатов столбца Этап 2. Далее результаты в сроках столбца Этап 3 делятся на соответствующие делители и в последнем столбце получаются результаты оценки воздействий. В столбце делителей первый равен числу опытов в эксперименте, а все остальные равны половине этого числа. В данной таблице метод расчёта результатов оценки показан для плана 2³, где расчёты выполнены в 3 столбцах. Однако он применим для любого факторного плана 2^р, где показанные операции суммирования и вычитания должны выполняться в р столбцах.

Таблица 11.2.3. Метод оценки воздействий для эксперимента по плану 2³

На основе расчётов в таблице 11.2.3 получается, что формулу для нахождения результата А оценки воздействия фактора х₁ можно записать так

А=(–у₁+у₂–у₃+у₄–у₅+у₆–у₇+у₈)/4.                              (11.2.12)

Здесь А получается умножением вектора х₁ уровней фактора х₁ из таблицы 11.2.3 на вектор у значений переменных отклика и делением результата на 4.

Подобным образом получается, что результат В оценки воздействия фактора х₂ на переменные отклика находится умножением вектора х₂ уровней этого фактора из таблицы 11.2.3 на вектор у значений переменных отклика и делением суммы на соответствующий делить

В=(–у₁–у₂+у₃+у₄–у₅–у₆+у₇+у₈)/4.                              (11.2.13)

Результат С оценки воздействия фактора х₃ на переменные отклика получается так же умножением х₃^Ту и делением на 4

С=(–у₁–у₂–у₃–у₄+у₅+у₆+у₇+у₈)/4.                              (11.2.14)

Отметим, что делителями являются числа равные сумме чисел +1 в соответствующих столбцах уровней факторов х₁, х₂ и х₃.

По таблице 11.2.3 расчёт результата АС оценки воздействия от взаимодействия между факторами х₁ и х₃ выполняется по формуле

АС=(у₁–у₂+у₃–у₄–у₅+у₆–у₇+у₈)/4.                             (11.2.15)

Эта формула расчёта похожа на формулы (11.2.12) и (11.2.14), но отличается коэффициентами перед значениями переменных отклика. Так, коэффициент перед у₁ в (11.2.15) равен +1, а коэффициенты перед у₁ в (11.2.12) и (11.2.14) равны –1. Этот коэффициент в (11.2.15) может быть получен умножением двух коэффициентов равных –1 из (11.2.12) и (11.2.14). Следующий коэффициент перед у₂ в (11.2.15) равен –1, а коэффициенты перед у₂ в (11.2.12) и (11.2.14) равны соответственно +1 и –1. Их произведение даёт –1, что является коэффициентом перед у₂ в (11.2.15). Дальнейшее сопоставление коэффициентов из (11.2.12) и (11.2.14) с коэффициентами при соответствующих значения переменных отклика в (11.2.15) показывает, что все коэффициенты в (11.2.15) получаются умножением соответствующих коэффициентов из (11.2.12) и (11.2.14). То есть, для получения коэффициентов перед значениями переменных отклика в (11.2.15) необходимо перемножать соответствующие элементы вектор-столбцов х₁ и х₃ из таблицы 11.2.3.

По таблице 11.2.3 расчёт результатов оценки воздействий от взаимодействий факторов х₁ и х₂ и факторов х₂ и х₃ выполняются соответственно по формулам

АВ=(у₁–у₂–у₃+у₄+у₅–у₆–у₇+у₈)/4                              (11.2.16)

и

ВС=(у₁+у₂–у₃–у₄–у₅–у₆+у₇+у₈)/4.                             (11.2.17)

В этих выражениях коэффициенты перед значениями переменных отклика тоже получаются в результате произведений соответствующих коэффициентов из формул расчёта результатов оценки воздействий участвующих во взаимодействиях факторов. Так в формуле расчёта результата АВ оценки воздействия от взаимодействия факторов х₁ и х₂ коэффициенты получаются в результате произведений соответствующих коэффициентов из формул (11.2.12) и (11.2.13), а в формуле расчёта результата ВС оценки воздействия от взаимодействия факторов х₂ и х₃ коэффициенты получаются в результате произведений соответствующих коэффициентов из формул (11.2.13) и (11.2.14).

Также по таблице 11.2.3 расчёт результата АВС оценки воздействия от взаимодействия между факторами х₁, х₂ и х₃ выполняется по формуле

АВС=(–у₁+у₂+у₃–у₄+у₅–у₆–у₇+у₈)/4.                        (11.2.18)

Как и для результатов оценки воздействий от взаимодействий двух факторов, здесь тоже можно ожидать, что коэффициенты перед значениями переменных отклика получаются в результате произведений соответствующих коэффициентов из формул расчётов результатов оценки воздействий факторов, участвующих во взаимодействии. И действительно, коэффициенты перед у₁ в (11.2.12) - (11.2.14) все равны –1. Их произведение даёт в результате –1, что и имеем в (11.2.18) перед у₁.

Таким образом, в выражениях (11.2.15) - (11.2.18) коэффициенты перед значениями переменных отклика получаются в результате поэлементных произведений столбцов уровней нормированных факторов из таблицы 11.2.2. Например, вектор х₁₂ коэффициентов в (11.2.16) получается в результате произведения Адамара (П.2.27) векторов х₁ и х₂ уровней факторов х₁ и х₂, то есть х₁₂=х₁◦х₂. Аналогично векторы х₁₃ и х₂₃ коэффициентов в (11.2.15) и (11.2.17) получаются соответственно в виде х₁₃=х₁◦х₃ и х₂₃=х₂◦х₃, а вектор х₁₂₃ коэффициентов в (11.2.18) получается так х₁₂₃=х₁◦х₂◦х₃. Результаты этих произведений сведены в таблицу 11.2.4. Все получаемые таким образом векторы ортогональны между собой и с векторами 1, х₁, х₂ и х₃. Ортогональность векторов уровней взаимодействий факторов получается для двухуровневых планов при любом числе факторов. При этом получаемые взаимодействия факторов можно рассматривать как новые факторы.

В выражениях(11.2.12) - (11.2.18) линейные комбинации значений переменных отклика, чьи коэффициенты суммируются в нуль, называются контрастами. Поэтому результаты оценки всех воздействий факторов и их взаимодействий рассчитываются на основе контрастов. Контрасты получаются в результате произведений векторов х₁, х₂, х₃, х₁₂, х₁₃, х₂₃ и х₁₂₃ уровней факторов и их взаимодействий на вектор у значений переменных отклика. Например, контраст выражения (11.2.13) получается в результате произведения х₂^Ту, а контраст выражения (11.2.15) - результат произведения х₁₃^Ту.

Таблица 11.2.4. Векторы уровней нормированных факторов и их взаимодействий для оценки воздействий на основе результатов эксперимента по плану 2³.

Построение таблицы нормированных уровней факторов и их взаимодействий завершается добавлением вектора 1, показанного в таблице 11.2.3 слева. Этот вектор необходим для оценки среднего переменных отклика и делителем здесь является число 2³=8, а не 4, как для остальных столбцов. Оценка среднего переменных отклика находится по формуле =1^Ту/8 или

=(+у₁+у₂+у₃+у₄+у₅+у₆+у₇+у₈)/8.

Возможность оценки воздействий на отклик от взаимодействий факторов даёт многофакторному эксперименту преимущество перед однофакторным. Однофакторное экспериментирование, где факторы изменяют поочерёдно при неизменных остальных, рассматривалось как правильный метод выполнения экспериментов. Этот метод можно применить для выяснения диапазонов изменения факторов. Однако по этому методу получается результат оценки воздействия только от одного фактора при выбранных и фиксированных уровнях остальных. Для использования этого результата необходимо чтобы он был один и тот же при всех других уровнях остальных факторов, то есть, чтобы факторы воздействовали на отклик независимо. Но в однофакторном эксперименте это не соблюдается, а в выполняемом по двухуровневому плану многофакторном эксперименте воздействия факторов на отклик независимы. Это достигается за счёт ортогональности между столбцами уровней нормированных факторов плана в таблице 11.2.2. Поэтому такой план называется ортогональным.

Многофакторный эксперимент по такому плану позволяет также обнаружить и оценить воздействия от взаимодействий между факторами, действующие на отклик тоже независимо из-за ортогональности векторов уровней взаимодействий факторов между собой и со всеми остальными столбцами в таблице 11.2.4. Однако на основе результатов экспериментов по двухуровневым ортогональным планам невозможно оценить воздействия от взаимодействий факторов самих с собой. Например, произведение Адамара вектора х₁ уровней фактора х₁ на себя даёт х₁◦х₁=х₁₁=1, то есть получается, что взаимодействие этого фактора с самим собой имеет вектор уровней равный вектору используемому для оценки среднего переменных отклика. Это справедливо и для остальных факторов. Поэтому воздействия от взаимодействий их с самими собой совмещены с воздействием среднего переменных отклика и отдельно их оценить невозможно.

Для двухуровневого плана 2^р с любым числом р факторов можно легко создать таблицу в виде таблицы 11.2.4. При этом надо начать со столбца единиц размера 2^р. Следующие р столбцов являются собственно планом эксперимента. В нём для каждого фактора записываются столбцы чисел +1 и –1 в стандартном порядке. Затем следуют р!/[2!(p–2)!] столбцов х₁₂, х₁₃,… взаимодействий двух факторов, р!/[3!(p–3)!] столбцов х₁₂₃, х₁₂₄,… взаимодействий трёх факторов и так далее до столбца х₁₂₃…_p взаимодействия всех факторов. Общее число новых факторов взаимодействий равно (2^р–р–1). Все столбцы уровней факторов взаимодействий получаются в результате произведений Адамара между векторами уровней нормированных факторов плана эксперимента. Например, столбец х₁₂₃…_p получается в результате произведения х₁◦х₂◦х₃◦...◦х_p. Внизу записываются делители: 2^р для первого столбца и 2^р–1 для всех остальных.

Матрица уровней факторов в таблице 11.2.4 является полунормализованной матрицей Адамара, определение которой дано в приложении (П.14). В общем, создание таких матриц может выполняться разными методами, включая метод с использованием произведения Кронекера (П.2). Все матрицы Адамара одинаковых размеров могут отличаться друг от друга, но, ввиду эквивалентности, их можно привести к виду матрицы в таблице 11.2.4. В этой матрице каждый столбец используется для оценки воздействий строго определённых факторов и их взаимодействий на переменные отклика.

Модель с матрицей Адамара

Матрица плана 2³ уровней нормированных факторов в таблице 11.2.2 является основной частью матрицы линейной модели эксперимента по этому плану. Вся матрица модели получается путём добавления справа к матрице плана столбцов уровней взаимодействий факторов, а слева - столбца чисел +1. Таким образом, матрица чисел +1 и –1 таблицы 11.2.4 является матрицей Х₈ линейной модели

у=b₀+b₁х₁+b₂х₂+b₃х₃+b₁₂х₁₂+b₁₃х₁₃+b₂₃х₂₃+b₁₂₃х₁₂₃+ε,        (11.2.19)

описывающей зависимость давления в рабочей камере пневматического прибора от трёх нормированных факторов х₁, х₂, х₃ и факторов х₁₂, х₁₃, х₂₃, х₁₂₃ их взаимодействий. Эту модель необходимо использовать при начальном анализе выполняемого по полному факторному плану 2^р эксперимента.

Вектор-столбцы матрицы Х₈ линейно независимы и каждый из них ортогонален всем остальным. Таким образом, как показано в разделе 7.2, такая матрица позволяет сделать раздельную и некоррелированную оценку параметров модели. Из раздела 7.2 также известно, что матрица Х₈^ТХ₈ диагональная, поэтому оценка каждого параметра модели (11.2.19) делается отдельно по формуле

=(x_j^Tx_j)^–1x_j^Ty,                                             (11.2.20)

где х_j – j-й столбец матрицы Х₈, соответствующий j-му параметру β_j (j=1, 2, 3, 12, 13, 23, 123), и у – вектор значений переменных отклика. А так как дисперсия результата оценки каждого параметра в этом случае

D()=s²(x_j^Tx_j)^–1,                                          (11.2.21)

то матрица Х₈ модели позволяет делать оценку параметров с минимальной дисперсией.

Матрица модели (11.2.19) является матрицей Адамара, то есть квадратной матрицей ранга 8 для которой справедливы выражения (П.14.1)

Х₈^ТХ₈=8I₈ и Х₈Х₈^Т=8I₈,

где I₈ - единичная матрица ранга 8. По теореме П.14.1 абсолютная величина детерминанта этой матрицы |det(X₈)|=8⁴=4096, а детерминант матрицы Х₈^ТХ₈ получается det(Х₈^ТХ₈)=8⁸ =1,678х10⁷. Такое большое значение детерминанта достигается из-за выбора плана 2³ эксперимента. Кроме этого, в разделе 6.2 установлено, что результаты оценки параметров модели получаются с минимальной дисперсией, если факторы в эксперименте устанавливаются только на двух уровнях. Поэтому результаты оценка параметров методом наименьших квадратов и с использованием двухуровневого плана имеют минимальные дисперсии и удовлетворяют критерию D-оптимальность.

В результате оценки параметров модели (11.2.19) методом наименьших квадратов с использованием данных таблицы 11.2.4, формула оценки ожидаемых значений переменных отклика принимает вид

=206,9–34,4х₁+36,6х₂+18,3х₃–11,0х₁₂+13,4х₁₃+5,9х₂₃+5,2х₁₂₃.  (11.2.22)

Правая её часть представляет полиномиальную функцию третьего порядка, так как включает член х₁₂₃=х₁х₂х₃ взаимодействия трёх факторов.

Линейная модель (11.2.19) включает в себя все факторы плана и все факторы их взаимодействий. Из таблицы 11.2.4 видно, что матрица рассматриваемой модели содержит одинаковое число строк и столбцов. Поэтому на основе имеющихся данных отклика для этой модели невозможно оценить дисперсию случайных ошибок, так как знаменатель в выражении (7.3.8) обращается в нуль. Поэтому при выполнении опытов эксперимента без повторений для такой модели невозможно оценить дисперсию ошибок. В этом случае для получения этой оценки необходимо сделать обоснованное допущение, что воздействия некоторых взаимодействий высокого порядка пренебрежимо малы. Например, на основе (11.2.22) можно считать, что воздействия от взаимодействий факторов х₂ и х₃, а также х₁, х₂ и х₃ малы и ими можно пренебречь.

Модель с сокращённой функцией

Если теперь считать, что давление в рабочей камере пневматического прибора зависит от трёх указанных выше факторов и оставшихся их взаимодействий, то модель постулируется в виде

у=b₀+b₁х₁+b₂х₂+b₃х₃+b₁₂х₁₂+b₁₃х₁₃+e.                                 (11.2.23)

Матрица X₆ этой модели содержит все столбцы матрицы Х₈, кроме двух последних, и не является матрицей Адамара. Оценка параметров модели методом наименьших квадратов по формуле

=(X₆^TX₆)^–1X₆^Tу

позволяет получить формулу оценки ожидаемых значений переменных отклика в виде

=206.9–34,4x₁+36,6x₂+18,3x₃–11,0х₁₂+13,4х₁₃,               (11.2.24)

(5,6)   (5,6)    (5,6)    (5,6)     (5,6)      (5,6)

где числа в скобках представляют собой стандартные ошибки результатов оценки параметров. Эти стандартные ошибки находятся следующим образом.

Если считать, что дисперсия переменных отклика D(у)=s²I, то по теореме 7.2.3 дисперсии результатов оценки параметров находятся по формуле С()=s²(X₆^TX₆)^–1. А так как матрица

(X₆^TX₆)^–1=,

то все элементы вектора =[,,,,,] оценки параметров модели, называемых также результатами оценки коэффициентов регрессии, имеют, в силу (11.2.21), одинаковую дисперсию равную 0,125s². Кроме этого, если для оценки дисперсии s² использовать сумму квадратов остатков и выражение (7.3.8), то получаем результат s²=250 оценки дисперсии. Отсюда результат оценки дисперсии оценочных коэффициентов регрессии получается 0,125s²=31,2, а равная корню квадратному из него их стандартная ошибка получается равной 5,6.

Необходимо отметить, что результаты =–34,4; =36,6; =18,3; =–11,0; =13,4 оценки коэффициентов регрессии равны половинам результатов А, В, С, АВ и АС оценки воздействий, вычисленных в (11.2.3) - (11.2.5), (11.2.8) и (11.2.9). Так получается потому, что в этих выражениях результаты оценки воздействий находились как разность между значениями отклика при изменении каждого нормированного фактора или взаимодействия факторов с уровня –1 на уровень +1, что соответствует изменению переменных отклика при изменении факторов или их взаимодействий на две единицы. Однако результат оценки каждого коэффициента регрессии является, по существу, составляющей изменения переменных отклика при изменении соответствующего фактора или взаимодействия факторов только на единицу. Поэтому для двухуровневого плана приведённые расчёты результатов оценки воздействий с использованием контрастов являются, фактически, расчётами методом наименьших квадратов, так как в формуле =(x_j^Tx_j)^–1x_j^Ty произведение x_j^Ty является контрастом, а (x_j^Tx_j)^–1=1/2^р. Отсюда результаты оценки коэффициентов регрессии являются неудвоенными результатами оценки воздействий факторов и их взаимодействий на переменные отклика.

Дисперсии и стандартные ошибки результатов оценки воздействий

Для эксперимента по полному факторному плану 2^р, если дисперсии переменных отклика во всех опытах D(y)=σ², то дисперсии результатов оценки их среднего  и воздействий факторов, а также их взаимодействий рассчитываются по формулам

D()=σ²/2^p и D(оценки воздействия)=4σ²/2^p.                  (11.2.25)

Первая формула получается на основе (1.9.4), так как число опытов п=2^p. Вторая формула получается в результате того, что, при ортогональности столбцов плана 2^р, результат оценки каждого воздействия равен удвоенному результату оценки каждого параметра модели (11.2.19). В силу (11.2.20), результат оценки j-го воздействия равен 2(x_j^Tx_j)^–1x_j^Ty, следовательно, его дисперсия

D[2(x_j^Tx_j)^–1x_j^Ty]=4(x_j^Tx_j)^–1x_j^TD(y)x_j(x_j^Tx_j)^–1=4σ²/2^p,

так как D(у)=s²I и x_j^Tx_j=2^p.

Когда данными отклика являются не просто значения переменных отклика, а их усреднённые значения, скажем, для r значений каждой переменной отклика, то дисперсии общего усреднённого переменных отклика и результатов оценки каждого воздействия находятся по формулам

D(общего усреднённого)=σ²/т и D(результата оценки воздействия)=4σ²/т, (11.2.26)

где т является общим числом наблюдений переменных отклика. Здесь общее число наблюдений т=r 2^р. Формулы (11.2.26) в общем, применимы и для экспериментов по дробным факторным планам (см. главу 12).

На практике необходимо делать оценку дисперсии σ² ошибок эксперимента. Далее будут рассмотрены методы её выполнения. Для эксперимента с пневматическим прибором, положим, имелся в распоряжении результат s²=250 оценки дисперсии. Тогда результаты оценки дисперсий среднего переменных отклика и результатов оценки воздействий принимают следующие значения

() =s²/2³=31,3 и (результата оценки воздействия) =4s²/2³=125,  (11.2.27)

а соответствующие стандартные ошибки являются квадратными корнями из них

s() =5,6 и s(результата оценки воздействия) =11,2.                 (11.2.28)

В итоге полный перечень результатов оценки воздействий из выражений (11.2.3) - (11.2.5), (11.2.8) - (11.2.11) и их стандартных ошибок показан в таблице 11.2.5. Из этой таблицы видно, что стандартные ошибки для результатов оценки воздействий тоже в два раза больше стандартных ошибок результатов оценки коэффициентов регрессии в (11.2.24).

Результаты оценки воздействий со стандартными ошибками, например, показанные в таблице 11.2.5, важно разделять на определённо реальные и те, которые относятся к случайной вариации или шуму. Такое разделение делается на основе того, что результаты оценки воздействий большие в 2 или 3 раза их стандартных ошибок не относятся к случайной вариации [Box с соавт. (2005) стр. 185]. Если подойти к этому более строго, то, при допущении нормального, независимого и одинакового распределения переменных отклика эксперимента, каждое отношение (Результат оценки воздействия) /(Стандартная ошибка оценки) будет иметь распределение t с v=8 степенями свободы. Двустороннее критическое значение распределения t, при уровне вероятности 0,05, равно 2,3, то есть, Pr(|t₈|>2,3)=0,05. Отсюда 95% интервал доверия для воздействий в таблице 11.2.5 получается в виде: Результат оценки воздействия ±2,3х11,2 (то есть, ±25,8). В таблице 11.2.5 даны результаты оценки воздействий и их стандартные ошибки, но возможно представлять результаты оценки воздействий с их интервалами доверия для выбираемого уровня вероятности. В этой таблице результаты оценки воздействий, которые определённо не относятся к шуму, показаны жирным шрифтом.

Таблица 11.2.5. Результаты оценки воздействий со стандартными ошибками для эксперимента по плану 2³ с пневматическим прибором

Воздействие одного фактора на переменные отклика должно объясняться отдельно только в том случае, если нет показаний, что этот фактор взаимодействует с другими факторами. Когда существует подтверждение одного или большего числа таких взаимодействий, то взаимодействующие факторы должны рассматриваться вместе. В таблице 11.2.5 видно, что существует большое воздействие фактора х₁ с результатом его оценки –69,0±11,2, но не должно делаться высказывание только о воздействии этого фактора, так как он взаимодействует с факторами х₂ и х₃ (результаты оценки воздействий которых равны соответственно –22,0±11,2 и 26,5±11,2). Поэтому могут делаться следующие выводы:

1. Все включённые в эксперимент факторы должны рассматриваться вместе.
2. Воздействия факторов х₁ и х₂ не могут быть объяснены раздельно, так как результат оценки воздействия от их взаимодействия х₁₂ большой. Воздействия факторов х₁ и х₃ также не могут быть объяснены раздельно, так как результат оценки воздействия их взаимодействия х₁₃ тоже большой. Эти взаимодействия лучше понять на основе их графического представления. Используя Рис.11.2.1, на Рис.11.2.2(а) показаны изменения отклика в зависимости от изменений фактора х₁, при факторе х₂ на нижнем и верхнем уровнях, а на Рис.11.2.2(б) показаны изменения отклика в зависимости от изменений фактора х₁, при факторе х₃ на нижнем и верхнем уровнях. На этих рисунках непараллельность прямых свидетельствует о взаимодействии факторов.

Рис.11.2.2. Графическое изображение взаимодействий факторов: (а) х₁ и х₂, (б) х₁ и х₃.

Модели с большими воздействиями от взаимодействий факторов

Необходимо всегда помнить, что реальными являются только данные. Они получаются в результате постановки реальных экспериментов! Статистическая или теоретическая модели являются только предположениями, которые могут или нет обобщить и объяснить важные свойства данных. Верно, что все модели неточные, но некоторые полезны, но верно и то, что нет модели универсально полезной [Box с соавт. (2005) стр. 208].

Обсуждаемая до сих пор модель используется для анализа данных, полученных в результате выполнения эксперимента по факторному плану, в терминах результатов оценки воздействий факторов и их взаимодействий. С появления факторных планов в 1920-е годы использование этой модели имело большой успех. Позднее возникли убеждения, что, например, воздействие от взаимодействия двух факторов х₁ и х₂ маловероятно что присутствует без одного или обоих воздействий самих факторов х₁ и х₂ [McCullagh, Nelder (1989), Chipman (1996)]. Несмотря на то, что такое действительно часто случается, но бывают важные случаи, когда этого не происходит. В то время как остаётся верным, что промахи некоторых видов, как то неправильные записи результатов или ошибки в проведении опытов эксперимента, являются наиболее вероятным поводом для одного или двух выделяющихся результатов опытов, тем не менее, как показывает следующий пример, возможность критического сочетания факторов и их уровней должна также учитываться.

Рассмотрим эксперимент, который проводился с целью выявить возможности уменьшения интенсивности изнашивания шариковых подшипников [Hellstrand с соавт. (1989)]. Двухуровневый план 2³ этого эксперимента строился с использованием двух уровней фактора х₁ термической обработки внутреннего кольца подшипника, двух уровней фактора х₂ оскуляции (два вида контакта шариков с канавкой внешнего кольца подшипника) и двух уровней фактора х₃, представлявших различные варианты сепаратора подшипника. Откликом являлась интенсивность изнашивания, определяемая в виде умноженного на 100 обратного от усреднённого времени до разрушения подшипника. В таблице 11.2.6 показаны план эксперимента с полученными результатами опытов, а также найденные методом наименьших квадратов результаты оценки воздействий на отклик факторов и их взаимодействий.

График кумулятивных вероятностей распределения данных эксперимента на Рис.11.2.3 показывает, что результаты двух опытов очень отличаются от остальных. Некоторое воздействие на отклик происходит только тогда, когда факторы х₁ термической обработки и х₂ оскуляции оба находятся на их плюсовых уровнях.

Таблица 11.2.6. Эксперимент с подшипниками: план 2³ с данными и вычисленными результатами оценки воздействий

"2.10 Гипербола" - тут тоже много полезного для Вас.

Рис.11.2.3. График кумулятивных вероятностей распределения данных эксперимента

На Рис.11.2.4 видно, что находящиеся на верхних уровнях факторы оскуляции и термической обработки вместе дают критическое сочетание, позволяя производить подшипники, имеющие усреднённую интенсивность изнашивания равную одной пятой от той, что была для стандартных подшипников! Найденный и показанный в таблице 11.2.6 результат оценки воздействия от взаимодействия этих факторов по абсолютной величине большой. Он больше даже результата оценки фактора х₃ конструкции сепаратора подшипника. В результате проведения и анализа результатов этого эксперимента фирма-производитель получила возможность производить шариковые подшипники с горазда меньшей интенсивностью износа.

С учётом того, что такие подшипники производились десятилетиями, удивительно, что такое важное явление не было обнаружено ранее. Объяснением этому является то, что до последнего времени многие исследователи имеют скудные знания о многофакторном экспериментировании. В их обучении видимо никогда не подвергалась сомнению догма, что факторы должны изменяться каждый в отдельности, в то время как остальные должны оставаться постоянными. Однако эта практика однофакторного экспериментирования опровергнута уже около столетия тому назад. Очевидно, что при однофакторном экспериментировании невозможно обнаружить воздействие на отклик от взаимодействий факторов. Следовательно, широкое использование двухуровневых многофакторных экспериментов позволяет обнаружить многие важные возможности, которые зависят от взаимодействий или критического сочетания рассматриваемых факторов.

Рис.11.2.4. Графическое изображение плана 2³ со значениями переменных отклика, а также с уровнями нормированных факторов.