Формулы Гаусса

Формулы Гаусса

Задача:  Дано:  n — количество узлов;

                       [a,b] — отрезок;

                       p(x) > 0 на [a,b].

Найти: квадратурную формулу , точную для многочленов наибольшей степени m, (т.е. найти узлы x₀, ..., x_n–1 и коэффициенты D₀, ...,D_n-1).

Опр. Квадратурная формула Гаусса — решение поставленной задачи.

Теорема. Существует решение для m = 2n – 1.

Доказательство:

1) При подстановке в квадратурную формулу простых многочленов 1=x⁰, x, x²,...,x^m получится система уравнений:

Рекомендуемые материалы

 , для j = 0,...,m.

В этой системе (m+1) нелинейное уравнение с 2×n неизвестными x₀, ..., x_n–1 , D₀, ...,D_n-1. При (m+1) = 2×n решений конечное число (если оно существует).

Следовательно, m = 2×n – 1.

2) Существование решения будет показано ниже.

Опр. Скалярным произведением функций f(x) и g(x) (с комплексными значениями) называется

, где  – комплексно сопряженная к g(x).

Опр. Многочлен g(x) ортогонален многочлену g(x), соответственно p(x) и [a,b], если (f(x),g(x)) = 0.

Обозначим  многочлен степени n, со старшим коэффициентом =1, ортогональный всем многочленам меньшей степени.

Пример.

1. Многочлены Чебышева  — соответствуют  и [–1;1].

2. Многочлены Лежандра:

 — соответствуют p(x) º 1 и [–1;1].

Если многочлен  имеет n различных корней x₀, ..., x_n–1 на [a,b], то .

Пусть эти корни x₀, ..., x_n–1 — узлы интерполяции. Найдем по ним квадратурную формулу  (например, формулу Ньютона-Котеса). Тогда она точна для всех многочленов степени (n–1).

Лемма.

Если x₀, ..., x_n–1 — корни (нули) многочлена  степени n, и формула  точна для многочленов степени (n–1), то она точна и для всех многочленов степени (2n–1).

Доказательство:

Пусть Q_2n–1(x) — произвольный многочлен степени (2n–1).

По теореме о делении многочленов с остатком выполняется .

Найдем

. Лемма доказана.

Примеры: при p(x) º 1, на [–1;1]

1) n = 1; x₀ = 0; D₀ = 2, т.е. формула

 точна для многочленов степени 2×1–1 = 1.

2) n = 2; x₀ = – 0,577; x₁ = 0,577; D₀ = D₁ = 1, т.е. формула

 точна для многочленов степени 2×2–1 = 3.

3) n = 3; x₀ = – 0,775; x₁ = 0; x₂ = 0,775;  

D₀ = 0,556; D₁ = 0,889; D₂ = 0,556, т.е. формула

 точна для многочленов степени 2×3–1 = 5.

Замечание:

Чтобы использовать эти узлы и коэффициенты для интеграла на произвольном отрезке [a,b], нужно в интеграле выполнить замену переменной .

"Установление господства кыргызских племен на Тенир Тоо" - тут тоже много полезного для Вас.

Тогда . Т.е. коэффициенты D₀, ...,D_n-1 не изменятся, а узлы пропорционально преобразуются в узлы на отрезке [a,b].

Составная формула Гаусса, для p(x) º 1:

отрезок [a,b] разбивается на N частей одинаковой длины,

каждая часть тоже разбивается на n – 1 частей,

точки деления — x_ki , где k = 0,...,N – 1,  i= 0,...,n – 1.

Тогда .