Формулы Ньютона-Котеса
Формулы Ньютона-Котеса
Пусть d0, ..., dn Î [–1;1] (вспомогательные узлы, сначала различные, потом возможно совпадающие)
, для i = 0,...,n.
f(xi) , для i = 0,...,n.
Пусть Ln(x) — интерполяционный многочлен Лагранжа по узлам xi.
Тогда , где p(x) — некоторая фиксированная функция, называемая весовой функцией.
Выполним замену:
Рекомендуемые материалы
Замечание: В случае, когда среди d0, ..., dn есть совпавшие (следовательно, среди x0, ..., xn тоже), вместо многочлена Лагранжа используют интерполяционный многочлен с кратными узлами. Однако результат так же записывают в виде .
Опр. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса — формулы вида
, где .
Свойства:
1. Если p(x) четна (симметрична) относительно , т.е. и xi расположены симметрично вокруг , то Di=Dn–i. Такую квадратурную формулу называют "симметричной".
2. "Симметричные" квадратурные формулы точны для любой функции, нечетной относительно , т.е. .
1 Древнейшие земледельцы и скотоводы на землях современной Украины - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.
Частные случаи: при p(x) º 1
1)n = 0; d0 = 0 — формула прямоугольников.
2)n = 1; d0 = –1, d1 = 1 — формула трапеций.
3)n = 2; d0 = –1, d1 = 0, d2 = 1 — формула Симпсона.
4)n = 1; d0 = 0 = d1 — формула прямоугольников.
5)n = 3; d0 = –1, d1 = 0, d2 = 1, d3 = 0 — формула Симпсона.