Системы массового обслуживания

2021-03-09 СтудИзба

8. Лекция.  Системы массового обслуживания.

8.I. Формулировка задачи и характеристики СМО

      Часто приходится сталкиваться с такими ситуациями: очередь покупателей в кассах магазинов; колонна автомобилей, движение которых остановлено светофором; ряд станков, вышедших из строя и ожидающих ремонта, и т.д. Все эти ситуации объединяет  то, что системам необходимо пребывать в состоянии ожидания. Ожидание является следствием вероятностного характера возникновения потребностей в обслуживании и разброса показателей обслуживающих систем, которые называют системами массового обслуживания (СМО).

            Цель изучения СМО состоит в том, чтобы взять под контроль некоторые характеристики системы, установить зависимость между числом обслуживаемых единиц и качеством обслуживания. Качество обслуживания тем выше, чем больше число обслуживаемых единиц. Но экономически невыгодно иметь лишние обслуживающие единицы.

            В промышленности СМО применяются при поступлении сырья, материалов, комплектующих изделий на склад и выдаче их со склада; обработке широкой номенклатуры деталей на одном и том же оборудовании; организации наладки и ремонта оборудования; определении оптимальной численности обслуживающих отделов и служб предприятий и т.д.

Основными элементами СМО являются источники заявок; их входящий поток; каналы обслуживания и выходящий поток. Это изображено на рис.

  Входящий                                          каналы                            выходящий

     поток                очередь              обслуживания                       поток

Рекомендуемые файлы

                                       • • • •                •                        

                                                                       •                   •      

                                                                                    •

В зависимости от характера формирования очереди СМО различают:

1)системы с отказами, в которых при занятости всех каналов обслуживания заявка не встает в очередь и покидает систему необслуженной;

2)системы с неограниченными ожиданиями, в которых заявка встает в очередь, если в момент ее поступления все каналы были заняты.

3)системы смешанного типа с ожиданием и ограниченной длиной очереди: заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все места в очереди заняты. Заявка, попавшая в очередь, обслуживается обязательно.

По числу каналов обслуживания СМО делятся на одноканальные и многоканальные.

В зависимости от расположения источника требований, системы могут быть разомкнутыми (источник заявок находится вне системы) и замкнутыми (источник находится в самой системе).

Рассмотрим в отдельности элементы СМО.

       Входящий поток: на практике наиболее распространенным является простейший поток заявок, обладающий свойствами стационарности ординарности и отсутствия последействия.

Стационарность характеризуется тем, что вероятность поступления определенного количества требований (заявок) в течение некоторого промежутка времени зависит только от длины этого промежутка.

Ординарность потока определяется невозможностью одновременного появления двух или более заявок.

Отсутствие последействия характеризуется тем, что поступление заявки не зависит от того, когда и сколько заявок поступило до этого момента. В этом случае вероятность того, что число заявок, поступивших на обслуживание за промежуток времени t, равно k, определяется по закону Пуассона.

Pk(t)=( (λt)k / k! ) е-λt

где λинтенсивность потока заявок, т.е. среднее число заявок в единицу

                              _                                                                 _

времени:    λ=1/τ (чел/мин, р/ч, автом/дн, кВт/ч), где τсреднее значение интервала времени между двумя соседними заявками;

k – число заявок, поступивших на обслуживание за промежуток времени t.

  Для такого потока время между двумя соседними заявками распределено экспоненциально с плотностью вероятности: f(t)= λ е-λt

      Случайное время ожидания в очереди начала обслуживания считают распределенным экспоненциально:  f(t)=υеt

где υинтенсивность движения очереди, т.е. среднее число заявок

приходящихся на обслуживание в единицу времени: υ=1/tоч,

где tоч – среднее значение времени ожидания в очереди.

Выходящий поток заявок связан с потоками обслуживания в канале, где

                                                     _

длительность обслуживания tобс является случайной величиной и часто подчиняется показательному закону распределения с плотностью

f(tобс)= μet

где μинтенсивность потока обслуживания, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в ед. времени: μ=1/ tобс(чел/мин, р/дн, кг/ч, докум/дн)

где t среднее время обслуживания.

      Важной характеристикой СМО, объединяющей λ и μ, является интенсивность нагрузки ρ=λ/ μ

Рассмотрим n-канальные разомкнутые СМО.

8.2 СМО с отказами.

8.2.1 Основные понятия

          Заявка, поступившая в систему с отказами и нашедшая все каналы занятыми, получает отказ и покидает систему необслуженной. Показателем качества обслуживания выступает вероятность получения отказа. Предполагается, что все каналы доступны в равной степени всем заявкам, входящий поток является простейшим, длительность (время) обслуживания одной заявки  (tобс) распределена по показательному закону.

8.2.2 Формулы для расчета установившегося режима

1. Вероятность простая каналов обслуживания, когда нет заявок (k=0):

                                                                      n

                                                         P0=1/(Σ ρk / k!)

                                                                   k=0

2. Вероятность отказа в обслуживании, когда поступившая на обслуживание заявка найдет все каналы занятыми (k=n):

Pотк= Pn =P0ρn / n

3. Вероятность обслуживания:  Робс= 1- Pотк                                                         _

4. Среднее число занятых обслуживанием каналов:       _              n3=ρ Робс

5. Доля каналов, занятых обслуживанием:                k3= n3/n

6. Абсолютная пропускная способность СМО:   A=λ Робс

8.3 СМО с неограниченным ожиданием

8.3.1 Основные понятия

        Заявка, поступившая в систему с неограниченным ожиданием и нашедшая все каналы занятыми, становится в очередь, ожидая освобождения одного из каналов.

        Основной характеристикой качества обслуживания является время ожидания (время пребывания заявки в очереди).

         Для таких систем характерно отсутствие отказа в обслуживании, т.е.

  Pотк=0 и Робс=1.

         Для систем с ожиданием существует дисциплина очереди:

1)обслуживание в порядке очереди по принципу «первым пришел – первым обслужен»;

2)случайное неорганизованное обслуживание по принципу «последний пришел - первым обслужен»;

3)обслуживание с приоритетами по принципу  «генералы и полковники вне очереди».

8.3.2 Формулы для расчета установившегося режима

1. Вероятность простоя каналов, когда нет заявок (k=0):

          n

P0=1/Σ(ρк/к!)+ρn+1/n!(n-ρ)

        k=0

Предполагается, что ρ/n<1, т.е. интенсивность нагрузки меньше числа каналов.

2. Вероятность занятости обслуживанием k заявок: Pk= ρк P0/k!, 1≤ k≤ n

3. Вероятность занятости обслуживанием всех каналов: Pn =P0ρn / n!

4. Вероятность того, что заявка ожидается в очереди: Роч= ρn+1/n!(n-ρ)* P0

5. Среднее число заявок в очереди:   _

                                                               Lоч= ρn+1/(n+λ)!(n-ρ)2* P0

6. Среднее время ожидания заявки в очереди: _      _

                                                                               tоч= Lоч/λ 

7. Среднее время ожидания заявки в СМО: _        _

                                                                           tсмо= tоч+ tобс

8. Среднее число занятых обслуживанием каналов:  _

                                                                                         n3

9. Среднее число свободных каналов:   _         _

                                                                   nсв= n- n3       _

10. Коэффициент занятости каналов обслуживания: k3= n3/ n

11. Среднее число заявок в СМО:  _   _      _

                                                           z= Lоч+ n3                                                       

8.4 СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди

8.4.1 Основные понятия

Заявка, поступившая в систему с ожиданием с ограниченной длиной очереди и нашедшая все каналы и ограниченную очередь занятыми, покидает систему необслуженной.

Основной характеристикой качества системы является отказ заявке в обслуживании.

Ограничения на длину очереди могут быть  из-за:

1)ограничения сверх времени пребывания заявки в очереди;

2)ограничения сверх длины очереди;

3)ограничения общего времени пребывания заявки в системе.

8.4.2Формулы для установившегося режима

1. Вероятность простоя каналов, когда нет заявок (k=0):

P0=1 : {Σ ρк/к!+ρn+1/n!(n-ρ)[1-(ρ/n)m]}

n – число каналов;

m – длина накопителя;

ρ – интенсивность нагрузки;

К – число заявок, поступивших на обслуживание за промежуток времени t.

2. Вероятность отказа в обслуживании: Pотк= ρn+m/n!n m*P0

3. Вероятность обслуживания: Робс= 1- Pотк                                                        

4. Абсолютная пропускная способность: A=λ Робс

5. Среднее число занятых каналов:  _

                                                             n3=A/μ= λ Робс/μ=ρ Робс, где ρ=λ/ μ

6. Среднее число заявок в очереди:

    _                                                         

    Lоч= ρn+1/n*n! * 1-(ρ/n)m(m+1-mρ/n) / (1-ρ/n)2 * P0

7. Среднее время ожидания обслуживания:  _      _

                                                                            tоч= Lоч/λ 

                                                             _   _      _

8. Среднее число заявок в системе: z= Lоч+ n3                                                      

                                                                       _

1.      Среднее время пребывания в системе:  tсмо= z/λ

8.5 Примеры решения задач.

Пример № 1.

Дежурный администратор города имеет 5 телефонов. Звонки поступают с интенсивностью 90 звонков/час. Средняя продолжительность разговора составляет 2 мин.

Определить характеристики дежурного администратора и сделать анализ СМО.

Решение:

1. Классифицировать СМО:

-с отказами (нет накопителя);

-многоканальная (5 телефонов = 5 каналов).

2. Обозначения:

λ – интенсивность потока заявок (λ=90зв/60мин=3зв/2мин)

n – число каналов (n=5);

μ – интенсивность потока обслуживания, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени (μ=1/ tобс)

tобс – среднее время обслуживания (tобс=2мин)

ρ – интенсивность нагрузки;

k – номер заявки (число заявок), k=n=5;

Р0 – вероятность простоя каналов обслуживания, когда нет заявок;

Ротк – вероятность отказа в обслуживании, когда поступившая на обслуживание заявка найдет все каналы занятыми;

Робс – вероятность обслуживания.

nз = ρ* Робс  - среднее число занятых обслуживанием каналов.

кз = nз / n - для каналов, занятых обслуживанием.

А = λ Робс - абсолютная пропускная способность СМО.

3. Определяем характеристики данной СМО:

  а) ρ = λ/μ = λ/(1/tобс) = λ tобс = 3/2 * 2 = 3

                         n

  б)  Ро= 1/ (Σρк/к!) = 1/ (ρ0/0!)+(ρ1/1!)+(ρ2/2!)+(ρ3/3!)+(ρ4/4!)+(ρ5/5!)=     

                      к=0

=1/ (1+3/1)+(3*3/1*2)+(3*3*3/1*2*3)+(3*3*3*3/1*2*3*4)+

+(3*3*3*3*3/1*2*3*4*5)=1/ 1+3+(9/2)+(27/6)+(81/24)+(243/120)=0,054

  в)  Ротк= ρn/ n!* Ро= (35/ 1*2*3*4*5)*0,054=(3*3*3*3*3/1*2*3*4*5)*0,054=

= (243/120)*0,054=0,12

  г) Робс = 1- Ротк= 1-0,12=0,88

  д) nз =  ρ*Робс= 3*0,88=2,6

  е) кз = nз / n = 2,6/5=0,52

  ж)  А = λ Робс = (3/2)*0,88 = 1,31.

      Пример № 2.

  На автомобильной стоянке возле магазина имеется 2 места. Рядом находится площадка на 2 а/м. На стоянку прибывает 1 машина в 3 мин. Среднее время нахождения водителя в магазине 2 мин.            

      Определить характеристики этой СМО и сделать анализ СМО.

Решение:

1) Классифицируем СМО:

- с ограниченной длиной очереди

- с накопителем

- многоканальная

- с ограничением общего времени пребывания заявки в системе СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди.

2) Обозначения:

  m=2 - длина накопителя

   n=2 - число каналов

  Остальные обозначения - как в Примере № 1.

3) Определяем характеристики данной СМО:

  а) λ = 1/3;        

  б) tобс = 2 мин;

  в) ρ = λ/μ = λ/(1/tобс) = λ tобс = (1/3)*2=2/3.

  г) Вероятность простоя каналов:

              n

  Ро= 1/(Σρк/n!)+ρn+1/n!(n-ρ)*[1-(ρ/n)m]= 1/ ((ρ0/0!)+(ρ1/1!)+(ρ2/2!)+

                    к=0

+(ρ2+1/1*2(2-ρ))*[1-(ρ/2)2]=1/ ( (2/3)/0! )+2/3+( (2/3)2/(1*2) )+

+( (2/3)3/ 2(2-2/3) ) [1- ( (2/3)/2 )]= 1/ 1+2/3+2/9+1/9[1-1/9]=0,52

    д) Вероятность отказа в обслуживании:

  Ротк= ρn+m/ n!nmо= ( (2/3)4/1*2*22 )*0,52=(16/81)/8*0,52=0,013

    е) Вероятность обслуживания:

  Робс = 1- Ротк= 0,987

    ж) Абсолютная пропускная способность:

  А = λ Робс= 0,987*1/3=0,33

    з) Среднее число занятых каналов:

  nз =  ρ*Робс= 2/3*0,987=0,658

Для каналов, занятых обслуживанием:

  кз = 0,658/2=0,329.

    и) Среднее число заявок в очереди:

  _

  Loч= ρn+1/n*n! * ( 1-(ρ/n)m(m+1-mρ/n) )/(1-ρ/n)2 * Ро

  _

  Loч =( (2/3)3/(2*2) )* 1-( (2/3)/2)2 )*( 2+1-2*((2/3)/2) )/ (1-(2/3)/2)2) *0.52

=(8/27)/4* * (1-1/9*7/3) /(4/9)= 2/27*((20/27)/(4/9))*0.52=2/27*5/3*0.52=0.14

     к) Среднее время ожидания обслуживания:

          _

В лекции "Модели восстановления платежеспособности" также много полезной информации.

  tor= Loч/ λ = 0.14/0.33=0.42

л) Среднее число заявок в системе:

        _

  Z= Loч+ nз =0,14+0,66=0,8

     м) Среднее время пребывания в системе:

  tсмо= Z/ λ = 0,8/0,33=2,42 или tсмо= toч+ toбс= 0,42+2=2,42 мин

Свежие статьи
Популярно сейчас