Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка методом конечных разностей
Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка методом конечных разностей.
Рассмотрим двухточечную краевую задачу для линейного дифференциального уравнения. Найти решение уравнения
(41)
с дополнительными краевыми условиями
(42)
где числа 
считаются известными и
,
то есть одна из величин не равна нулю.
Коэффициенты 
являются непрерывными функциями на некотором отрезке 
. Решением этого уравнения является некоторая непрерывная на функция 
, имеющая первую и вторую производные на , удовлетворяющая исходному уравнению и дополнительным краевым условиям.
Рекомендуемые материалы
Поставленная краевая задача решается с помощью перехода от исходной задачи к новой, записанной в конечно-разностной форме. Тогда решение новой задачи будет являться приближенным решением исходной задачи. В силу того, что первая и вторая производные, входящие в уравнение и в краевые условия, будут заменены приближенными конечно-разностными формулами, решения с применением метода конечных разностей получается не в виде непрерывной функции 
, а виде таблицы ее значений в отдельных точках (Рис.12). Для этого разобьем на 
частей так, чтобы 
. Наша задача – найти значения функции в точках 
. Для того, чтобы перейти от исходной задачи к конечно-разностной, надо получить формулы для представления первой и второй производных в конечно-разностном виде. Они получаются, если применить разложение функции в окрестности 
некоторой точки 
в ряд Тейлора, ограничиваясь вторыми производными:
.
Складываем эти ряды и получаем выражение второй производной в конечно-разностной форме:
.
Аналогично получим формулу для первой производной, если вычтем ряды:
.
Обозначим: 
. 
.
С учетом введенных обозначений запишем исходное уравнение для узловых точек 
:
, 
(43)
Представим
;
Люди также интересуются этой лекцией: Зрительный анализатор.
;
в конечно-разностной форме, тогда к системе (43) добавляется еще два уравнения, соответствующие краевым условиям:
(44)
(45)
Получили систему линейных алгебраических уравнений (43) – (45) с неизвестными 
. Решив эту систему любым известным методом, получим приближенное решение для исходной задачи.
Заметим, что система представляет собой систему с разряженной матрицей, имеющей трехдиагональный вид. Поэтому, для решения системы применяют специальные методы, позволяющие оперировать только с элементами матрицы, отличными от нуля. Одним из таких методов является метод прогонки.
