Метод прогонки
Метод прогонки.
Запишем систему (45) в канонической форме:
,
, .
Получим:
, . (46)
Будем искать в виде:
. (47)
где коэффициенты требуется определить. Выразим и подставим в исходную систему (46):
Рекомендуемые материалы
.
Выразим из последнего выражения :
.
Сравнивая полученную формулу с (47), получим выражения для :
(48)
Чтобы начать расчеты по этим формулам, надо знать . Найдем их из первого краевого условия. Выражая и сравнивая с , получим ; .
Итак, вычисления, называемые прямым ходом, осуществляют в следующем порядке:
1. Вычисляют значения .
2. Находят .
3. Вычисляют , .
Обратный ход вычислений состоит в следующем:
1. Решают систему из двух уравнений относительно и :
"ДЮРКГЕЙМ Эмиль" - тут тоже много полезного для Вас.
и получают .
2. Вычисляют , начиная с и далее до .
3. Находят .
В результате работы алгоритма получим значения исходной функции в узловых точках , т.е. получим таблицу значений функций, которая является приближенным решением исходной задачи. Используя полученную таблицу, можно построить аналитический вид функции. Как правило, эту функцию строят в виде многочлена.
Для оценки погрешности метода конечных разностей применяют двойной пересчет с шагом и . Приближенная оценка погрешности значения получается по формуле , где - значение точного решения краевой задачи в точке : и - значения в точке , полученные соответственно с шагом и .