Случайные меры
§13 Случайные меры.
13.1. Напомним определение - конечной меры.
Определение. Мера называется s - конечной, если для любого замкнутого ограниченного множества существует последовательность множеств , где , такая, что: a) при , б) .
Определение. Мера называется случайной и обозначается , где , если:
а) при фиксированных w и A как функция t является случайным процессом, б) при фиксированных w и t s - конечная мера, в) для .
Пусть - измеримая функция такая, что определён интеграл Лебега обозначаемый .
Обозначим .
Определение. Случайная мера m называется опциональной (предсказуемой), если для любой неотрицательной - измеримой функции Х процесс является опциональным (предсказуемым).
Рекомендуемые материалы
13.2. Обозначим .
Определение. Меру назовем мерой Долиан, если .
Отсюда следует, что для всякой неотрицательной - измеримой функции X(w, t, x) определен интеграл по мере Долиан:
.
Определение. Мера Долиан называется конечной, если . Определение. Будем говорить, что опциональная случайная мера m принадлежит классу (пишем ), если .
Определение. Mepa Долиан называется - s-конечной, если существует последовательность множеств таких, что , где , и для .
Определение. Будем говорить, что опциональная случайная мера принадлежит классу (пишем ) если , где и .
Очевидно следующее утверждение.
Теорема 42. .
13.3. Определение. Будем говорить, что случайные меры и совпадают Р - п. н. (пишем ), если для любой неотрицательной - измеримой функции Х .
Из этого определения следует утверждение.
Предложение 43, Пусть и - опциональные случайные меры такие, что:
а) для любой - измеримой X; б) хотя бы одна из них принадлежит . Тогда .
13.4. Определение. Компенсатором опциональной случайной меры называется предсказуемая мера (т. е. ) такая, что для любой неотрицательной, - измеримой функции Х(, t, х) .
Теорема 44. У всякой опциональной случайной меры существует и притом единственный компенсатор , т. е. (с точностью до нулевой меры Р). (Доказательство следует из теоремы Дуба - Мейера).
13.5. Определение. Случайная мера называется целочисленной, если:
1) для всех и ;
2) для принимает значения в ;
3) для фиксированных - -конечная мера;
Вам также может быть полезна лекция "Ультразвуковая анатомия селезенки".
4) для фиксированных - опциональный процесс.
Следующая теорема вытекает из определения целочисленной случайной меры и теорем 13 и 23.
Теорема 45. Пусть - целочисленная случайная мера, тогда существует множество D и опциональный случайный процесс со значениями в Е такие, что , где - мера Дирака сосредоточенная в точке . Если - последовательность моментов остановки, исчерпывающая тонкое множество D, то для любой неотрицательной - измеримой функции справедливо равенство
Р - п. н.
Следствие 46. Пусть - опциональный процесс со значениями в Rd. Тогда формула определяет целочис-ленную случайную меру на .