Элементы общей теории случайных процессов. Точечные случайные процессы. Описание процессов с непрерывным временем

Глава 3. Элементы общей теории случайных процессов. Точечные случайные процессы.

§1 Основные определения. Описание процессов с непрерывным временем.

1.1. Пусть  - измеримое пространство.

Определение. Пусть , а - семейство  на -алгебре на . Семейства  назовем потоком -алгебр или фильтрацией, если для  при  и .

Замечание. Фильтрация  описывает историю некоторого явления, и  называют -алгеброй событий предшествующих моменту времени t.

Определение. Будем говорить, что поток -алгебр  непрерывен справа, если .

Определение. Пусть имеется два измеримых пространства и . Случайным процессом с непрерывным временем, определенным на  со значениями в называется семейство случайных элементов со значениями в E. Пространство  будем называть пространством элементарных исходов, а E - пространством состояний.

Рекомендуемые материалы

Для  значение  называется состоянием случайного процесса в момент времени . Для фиксированного  множество  называется траекторией или реализацией случайного процесса.

Определение. Случайный процесс  называется согласованным с фильтрацией , если при каждом  он -измерим, для него будем использовать обозначение .

Определение.  - вероятностное пространство с фильтрацией   называется стохастическим базисом, если - непрерывно справа и для него будем использовать обозначение .

Соглашение: будем полагать везде ниже, что стохастический  базис полный, т.е. -алгебра F и фильтрация  (для ) пополнены множествами нулевой меры P.

1.2. Определение. Случайный процесс называется  измеримым, если отображение  измеримо относительно -алгебры .

Определение. Случайный процесс  называется прогрессивно измеримым, если отображение  измеримо относительно .

Замечание. Отметим, что всякий прогрессивно измеримый процесс является согласованным. Обратное утверждение неверно. Однако верно следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть  - согласованный процесс и Е - польское пространство. Тогда  - прогрессивно измерим.

Доказательство. Для рассмотрим диадическое разбиение отрезка , т. е. разбиение на равных интервала, где . Для , положим . Очевидно, что  - измеримое отображение из относительно -алгебры . Устремляя  получаем, что отображение  является измеримым относительно -алгебры  при каждом ._.

1.3. Определение. Пусть  и - два случайных процесса, определенных на  . Процесс  называется модификацией процесса , если для каждого  
Р - п. н.

Определение. Два случайных процесса, определенные на , называются неотличимыми, если Р - п. н. для всех .

Замечание. В определении модификации множество нулевой меры Р, на котором отличаются   и   может зависеть от , в то время как в определении неотличимых процессов существует только одно множество меры нуль, вне которого  для всех . Поясним это на примере. Пусть - мера Лебега на , а  Тогда ясно, что  - модификация , хотя неотличимости нет, так как .

1.4. Теперь приведем без доказательства достаточные условия существования у процесса  модификаций принадлежащих пространствам и, соответственно.

Теорема 2. Пусть  случайный процесс со значениями в . Если при всех  существуют константы  такие, что

                                                                  (1)

то процесс  имеет непрерывную модификацию.

Теорема 3. Пусть  случайный процесс со значениями в . Если для любого  существуют константы  такие, что  где  , то у процесса  существует модификация из .

1.5. Определение. Случайный процесс называется стохастически непрерывным справа (слева) в точке , если для любого  ().

Случайный процесс  называется  стохастически непрерывным справа (слева), если он стохастически непрерывен справа (слева) в любой точке .

Определение. Если , то будем говорить, что процесс принадлежит классу .

Определение. Процесс  непрерывен справа (слева) в среднем порядка  в точке t, если . Процесс  непрерывен справа (слева) в среднем порядка p, если он непрерывен справа (слева) в среднем порядка p, в каждой точке .

Теорема 4. Если процесс - непрерывен справа (слева) в точке t в среднем порядка p, то он стохастически непрерывен справа (слева) в точке t.

Доказательство следует из неравенства Чебышева. Действительно пусть любое , имеем . Переходя к пределу при  получаем утверждение теоремы.

1.6. Пример (пуассоновский процесс). Пусть имеется  последовательность независимых в совокупности, одинаково распределенных случайных величин, имеющих экспоненциальное распределение с параметром . Пусть . Положим . Очевидно, что  Р - п. н. для . Пусть . Очевидно, что . Таким образом определенный процесс  называется пуассоновским. Из приведенных выше построений следует, что  непрерывен справа.

Найдем распределение вероятностей . Ясно, что , где 

Очевидно

Поэтому    (2)

Обозначим через - экспоненциальное распределение с параметром , а через - n-кратную свертку этих распределений. Очевидно, что , а  Поэтому из (2) имеем: .

Вычислим , имеем

Рекомендуем посмотреть лекцию "4 Искусство Передней Азии".

.

Теперь вычислим , имеем

Отсюда следует, что дисперсия пуассоновского процесса в момент времени  равна . Отметим, что величина - называется интенсивностью пуассоновского процесса.

Вопрос: Является ли пуассоновский процесс непрерывным в среднем порядка 1? Ответ положительный.

Действительно, так как - неубывающий процесс, т.е.  Р - п. н. Поэтому  Следовательно, процесс  непрерывен в среднем порядка 1 для , а в силу теоремы 4 пуассоновский процесс стохастически непрерывен.