Матрица интенсивности перехода. Уравнения Колмогорова
§10 Матрица интенсивности перехода. Уравнения Колмогорова.
10.1. Пусть на стохастическом базисе 
задан опциональный процесс 
со значениями в Е, где Е – конечное или счетное множество. Пусть 
– последовательность марковских моментов, которая исчерпывает все скачки процесса . Без ограничения общности можно считать, что 
. Пусть 
- считающий процесс, а 
, относительно которых мы будем предполагать, что выполняются условия (N):
i) 
для любого 
;
ii) 
.
Если выполнено условие 
,то у считающего процесса 
существует
- компенсатор 
, относительно которого мы будем полагать, что выполняется условие (А):
P – п. н. для любых 
, причем
измерима, где 
.
10.2. Предложение 34. Пусть опциональный случайный процесс с конечным или счетным множеством состояний E, а 
-считающий процесс. Пусть выполняются условия (N), (А). Тогда существует измеримая функция 
, обозначаемая 
такая, что:
Рекомендуемые материалы
1) почти всюду относительно меры Лебега:
i) 
для любых 
,
ii) 
для любых ;
2) компенсатор считающего процесса имеет вид 
;
3) компенсатор процесса 
имеет вид 
.
Доказательство. 1) Рассмотрим считающий процесс , 
. В силу пункта 2) предложения 33 и теоремы Блекуэлла для любой предсказуемой ограниченной неотрицательной функции 
справедливо равенство:
. (7)
Из условия (А) следует, что 
- измерима, поэтому в силу теоремы Бореля, существует измеримая функция , обозначаемая через 
, такая, что 
почти всюду относительно меры 
. Очевидно, что 
. Поэтому (7) можно переписать в виде 
.
Из последнего равенства, в силу произвольности функции получаем, что:
1) 
для 
почти всех s, 2) 
-компенсатор считающего процесса . Таким образом, второе утверждение предложения установлено.
3) Рассмотрим процесс . Из определения процесса 
и условий предложения для любой - предсказуемой ограниченной неотрицательной функции 
определен и конечен интеграл 
для любого 
. В силу условий предположения и свойств интеграла Стилтьеса, имеем
(8)
Ранее мы выяснили, что - компенсатор считающего процесса 
имеет вид 
. Поэтому для любых t,i из (8) имеем
Следовательно, в силу произвольности функции , получаем 
для любых и почти всех s. Отсюда, в силу теоремы Блекуэлла и произвольности , получаем, что предсказуемый процесс является компенсатором процесса 
. Доказательство закончено.
Из предложения 34 следует определение.
Определение. Измеримую функцию , обозначаемую через , где 
, назовем матрицей интенсивности перехода опционального процесса 
с конечным или счетным числом состояний, если выполняются условия:
1) для почти всех s
i) для любых ,
ii) 
для любого ,
iii) 
.
2) относительно потока и меры P процессы и :
i)
,
ii) 
являются мартингалами.
Теорема 35. Пусть выполнены условия (N), (А). Тогда справедливы следующие утверждения:
1) существует матрица интенсивности перехода у опционального процесса с конечным или счетным числом состояний;
2) пусть 
- матрица интенсивности перехода опционального процесса с конечным или счетным числом состояний. Тогда Р – п.н. справедливо представление для любых 
и .
. (9)
где 
- мартингал.
Доказательство. Первое утверждение следует из предложения 34. Второе утверждение теоремы следует из предложений 33 и 34.
Действительно, из пункта 1) предложения 33 и пункта 3 предложения 34, имеем P – п.н.
Здесь мы учли, что 
. Для завершения доказательства осталось лишь заметить, что в силу пунктов 2) и 3) предложения 34 
и 
являются мартингалами относительно меры P. Доказательство закончено.
Замечание. Предположим, что 
- матрица интенсивности перехода удовлетворяет условиям:
1) 
для 
и ,
2) 
,
3) 
.
Тогда 
. Действительно, из условий 1) – 3) следует, что для 
.
10.3. Представление (9) позволяет вывести уравнение для распределения вероятностей 
. Обозначим 
.
Теорема 36. Пусть 
- матрица интенсивностей перехода процесса 
. Тогда 
удовлетворяет системе уравнений для
. (10)
Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - Уильям Шекспир .
Доказательство. Возьмем математическое ожидание относительно левой и правой частей (9), учитывая, что 
для 
, имеем
.
Так как 
для 
, то в силу теоремы Фубини из последнего равенства имеем
.
Отсюда, в силу того, что 
детерминированная функция, получаем (10). Доказательство закончено.
Замечание. Процесс , распределение вероятностей которого удовлетворяет (10) называют скачкообразным марковским процессом с конечным или счетным числом состояний. Система уравнений (10) называется прямым уравнением Колмогорова для марковских процессов с конечным или счетным числом состояний.
